La multiplicación de los elementos de un grupo

Question

Deje $a, b \in G$. Supongamos $aba^{-1} = b^{i}$ . Mostrar que $a^{r}ba^{-r} = b^{i^r}$

Traté de levantar ambos lados del r, pero a mí me dio $a^{r} b^{r} a^{-r}$ = $b^{ir}$ . Alguna sugerencia?

Answer 1

$(aba^{-1})^r$ sorprendentemente no es (generalmente) igual a $a^r b^r a^{-r}$. Tome $r=2$ por ejemplo:

$$(aba^{-1})^2 = (aba^{-1})(aba^{-1}) = (ab)(a^{-1}a)(ba^{-1}) = (ab)(ba^{-1}) = a(b)^2 a^{-1}$$

Por otro lado, si pones dos $a$s en el exterior, se obtiene:

$$(a)^2 b (a^{-1})^2 = a(aba^{-1})a^{-1} = a(b^i)a^{-1} = (aba^{-1})^i = (b^i)^i = b^{i^2}$$

Si usted trabaja con un par de poderes como este, creo que voy a ver el patrón.