Prueba $\sum_{k\mid n}{\mu(k)d(k)}=(-1)^{\omega{(n)}}$

Question

Tengo el siguiente ejercicio.

Demuestre que para todos los números naturales $n$ se cumple la siguiente igualdad $$\sum_{d|n}{\mu{(d)}d(d)}=(-1)^{\omega{(n)}}$$ Aquí, $\mu$ es la función de Möbius, $d$ cuenta el número de divisores de $n$ y $\omega$ cuenta el número de divisores primos distintos de $n$ .

Intenté mirar un número como $n=10$ sólo para ver cómo se ve expandido. Así que como los divisores de $n$ son $1,2,5,$ y $10$ Puedo demostrar que $$\sum_{d|10}{\mu{(d)}d(d)}=(-1)^{\omega{(10)}}=\mu(1)d(1)+\mu(2)d(2)+\mu(5)d(5)+\mu(10)d(10)=1$$ Esto me da $$1\cdot 1+-1\cdot 2+-1\cdot 2 +1\cdot 4 $$ Estoy pensando que de alguna manera ya que ambos $\mu$ y $d$ son multiplicativos que podemos reescribir sin embargo como $$\mu(1)d(1)+\mu(2)d(2)+\mu(5)d(5)+\mu(2)d(2)\mu(5)d(5)$$ $$=\mu(1)d(1)+\mu(5)d(5)+\mu(2)d(2)+\mu(2)d(2)\mu(5)d(5)$$ $$=\mu(1)d(1)+\mu(5)d(5)+\mu(2)d(2)(1+\mu(5)d(5))$$ $$=\mu(1)d(1)+\mu(5)d(5)+\mu(2)d(2)(\mu(1)d(1)+\mu(5)d(5))$$ $$=(1+\mu(2)d(2))(1+\mu(5)d(5))$$ $$=\sum_{d|2}{\mu(d)d(d)}\sum_{d|5}{\mu(d)d(d)}$$ Así que esta función sumatoria original es multiplicativa. Pero esto no me ayuda a ver cómo avanzar. Sé que la $\mu$ se define como $\mu(n)=(-1)^{\omega(n)}$ si $n$ es libre de cuadrados y $0$ si es divisible por un cuadrado, así que creo que esto juega un papel de alguna manera, pero de nuevo, me siento perdido.

EDITAR: Se podría buscar en $n=\prod_{i=1}^k{p_i^{\alpha_i}}$ ¿es un enfoque más útil para el problema? Saber que la función sumada más grande es multiplicativa significa que puedo centrar mi enfoque en el $p_i^{\alpha_i}$ ...

Answer 1

Mira la suma para una potencia primera $p^k$ . Los divisores de $p^k$ son $1,p,p^2,...,p^{k-1}$ . Todos ellos contienen un cuadrado excepto $1$ y $p$ . Esto significa que $\mu(p^a)=0$ . Así que la suma es $$\mu(1)d(1)+\mu(p)d(p)\\=1\times 1+(-1)\times 2=1-2=-1$$ Así que cada primo diferente, o su potencia, aporta un factor (-1).

Answer 2

Otra forma, combinatoria, sería como $$\sum _{d|n} \mu (d) d(d)=\sum _{i=0}^{w(n)}\sum _{p_1<p_2 \ldots < p_i}\mu (p_1 \dots p_i)d (p_1 \dots p_i)=\sum _{i=0}^{w(n)}\binom{w(n)}{i}(-1)^i2^i=(1-2)^{w(n)}$$ donde el $p_j$ son primos en la descomposición de $n$ .