¿Existe una buena representación de la función $\sum_{n=1}^\infty \zeta(2n+1)x^{2n+1}$

Question

$$\sum_{n=1}^\infty \zeta(2n)x^{2n} = -\frac{\pi x}{2}\cot(\pi x) $$

Hace $$\sum_{n=1}^\infty \zeta(2n+1)x^{2n+1}$$ ¿también tiene una buena representación de la función? Por su gráfico, parece una variación de $\tan(x)$ .

Answer 1

Desde aquí la relación \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \zeta(n+1) \ x^{n} = - \gamma - \psi(1-x) \end{align} se puede obtener. Dejando que $x$ ir a $-x$ y sumando el resultado se obtiene lo siguiente \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} (1 + (-1)^{n}) \zeta(n+1) \ x^{n} = - 2 \gamma - \psi(1-x) - \psi(1+x). \end{align} Esto lleva al resultado \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \zeta(2n+1) \ x^{2n+1} = -\gamma x - \frac{x}{2} \left( \psi(1-x) + \psi(1+x) \right). \end{align}

Answer 2

Generalizando la identidad utilizada por Leucipo, la función generadora de $\zeta(k+1,a)$ , donde $\zeta(s,a)$ es el Función zeta de Hurwitz es $$ \sum_{k=1}^{\infty} \zeta(k+1,a) \ x^{k} = \psi(a) - \psi(a-x) \ , \ (|x| < |a|).$$

Esto puede derivarse expandiendo el lado derecho en una serie de Taylor en $x=0$ .

Dejemos que $f(x) = \psi(a) - \psi(a-x)$ .

Entonces $f(0) = 0$ .

Y para $k \ge 1$ , $$ \begin{align} f^{(k)} (0) &= (-1)^{k+1} \psi^{(k)}(a) \\ &= (-1)^{k+1} (-1)^{k+1} k! \zeta(k+1,a) \tag{1} \\ &=k! \zeta(k+1,a) . \end{align}$$

Por lo tanto,

$$ \begin{align} \psi(a) - \psi(a-x) &= \sum_{k=1}^{\infty} k! \zeta(k+1,a) \frac{x^{k}}{k!} \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} \zeta(k+1,a) \ x^{k} . \end{align}$$

Y como la función zeta de Riemann es $\zeta(s,1)$ ,

$$ \begin{align} \sum_{k=1}^{\infty} \zeta(k+1) \ x^{k} &= \psi(1) - \psi(1-x) \\ &= -\gamma - \psi(1-x) . \end{align}$$

$ $

$(1)$ http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz_zeta_function#Special_cases_and_generalizations