La relatividad de la simultaneidad de 3 o más eventos

Question

Habitual de libros de texto tratamientos sólo considerar la relatividad de la simultaneidad de eventos de 2, es decir, que diferentes observadores no necesariamente de acuerdo en cual de los dos eventos que ocurra primero. En el caso de dos eventos es posible elegir un eje espacial que contiene ambos eventos, reduciendo el problema a una dimensión espacial.

Sin embargo, estoy interesado en el caso de 3 o más eventos: ¿existen casos de tres o más eventos, de tal manera que cada orden de los eventos puede ser observado? Por eso me refiero (por ejemplo de 3 eventos a,B,C): ¿existen ejemplos de eventos a, B y C de modo tal que un observador ve en el orden de la ABC, otro en el orden en el BCA, uno de otro en el orden de la CABINA, otra en el orden en el BAC, uno de otro en el orden de la ACB, y el último en el orden de CBA? Para una dimensión espacial, la respuesta parece ser que no, pero de mayores dimensiones no tengo ni idea. ¿El número máximo de eventos cuyo orden puede ser arbitrariamente intercambiados por la elección de un marco de referencia dependen de la dimensión espacial?

En caso de que alguien sepa la respuesta, yo realmente apreciaría una referencia, como un libro o un papel.

Answer 1

La idea clave es que sólo se puede libremente el orden de los eventos, si existe un marco en el que están todos simultánea.

Para cualquier $d$ pares spacelike separados eventos en $d$ dimensiones espacio-tiempo, no existe un marco en el que todos son simultáneas. Usted puede construir este marco a través de una de Gram-Schmidt-como procedimiento: inicio en un marco arbitrario cuyo origen está en el evento $A$ y el aumento en la dirección espacial de $B - A$ por un importe que les hace simultánea. Luego de impulso en la dirección de la proyección de la $C - A$ ortogonal a $B - A$ por una cantidad que hace que $C$ simultánea así, etc. Puedes seguir haciendo esto $d-1$ veces hasta que se acabe la ortogonales spacelike direcciones. Usted va a terminar en un marco en el que todos los $d$ eventos son simultáneos.

Desde allí, usted puede aumentar en una dirección que va de "inclinación" de la spacelike hipersuperficie de la simultaneidad, de modo que los puntos se encuentran en el orden que desee. Es decir, a aumentar hacia los puntos (proyección de los componentes de las direcciones en las que ya ha impulsado como antes) en el orden en que quieres que sea ordenado, con un mayor impulso de cada momento (aunque cada impulso puede ser infinitamente pequeño). Si usted tiene más de $d$ puntos aunque, luego, una vez que ha traído de la primera $d$ de ellos simultáneos, entonces cada punto va a ser en el futuro o en el pasado de la primera $d$ puntos. Mover cualquiera de aquellos en entre el pedido de la primera $d$ puntos requeriría de un número finito de boost, la eliminación de su libertad a fin de la primera $d$ por una secuencia de infintesimal aumenta de creciente magnitud.

Answer 2

Yo reclamo que en $N$ dimensiones espacio-tiempo, existen conjuntos de $N+1$ puntos para que cualquier posible vez que un pedido puede ser realizado, siempre y cuando la operación de inversión de tiempo también es permitido. Es decir, debemos permitir que todas las transformaciones de Lorenz, no solo de aquellos que continuamente conectados a la identidad.

Reivindicación 1. Considere la posibilidad de cualquier conjunto de $N+1$ $\vec{a}_i$ en general, la posición en $N$-dimensional en el espacio Euclidiano. A continuación, para cualquier pedido de la $N+1$ puntos, existe un eje $\hat{n}$, por lo que las cantidades $c_i = \hat{n} \cdot \vec{a}_i$ son en ese orden.

Prueba. Sin pérdida de generalidad, podemos tomar la orden de $1, 2, \ldots, (n+1)$, tan sólo queremos que la secuencia de $c_i$ va en aumento. Existe un plano que pasa a través de la primera $n$ puntos pero no a través de la $(n+1)^\text{th}$ punto. Deje $\hat{n}$ ser el eje normal a este plano, dirigida de modo que $c_{n+1}$ es más grande y $c_1 = c_2 = \ldots = c_n$.

Hacemos uso de la inducción. El caso base es clara. Ahora aplicar la hipótesis inductiva a la primera $n$ puntos, dando un eje $\hat{m}$. Por la continuidad, hay algunas pequeñas $\epsilon > 0$, de modo que $\hat{n} + \epsilon \hat{m}$ da la ordenación deseada, lo que demuestra el resultado.

Reivindicación 2. El resultado anterior implica que existe conjuntos de $N+1$ $N$- dimensiones espacio-tiempo, que pueden ser ordenados en el tiempo de la manera que sea, siempre que la inversión de tiempo es permitido.

Prueba. La única diferencia entre este caso y el de la reivindicación 1 es que podemos elegir los ejes de $\hat{n}$ que son más de $45^\circ$ distancia desde el eje de tiempo $\hat{e}_t$. Dado un eje $\hat{n}$ que no es perpendicular a $\hat{e}_t$, podemos estirar todos los puntos en el tiempo de la dirección para disminuir el ángulo entre el $\hat{n}$ $\hat{e}_t$ hasta el ángulo es lo suficientemente pequeño.

Observación. Si el tiempo de reversión no está permitido, el anterior a prueba de falla. Para ver esto, considere el caso de $N = 2$ con eventos $A$, $B$, y $C$. Sin pérdida de generalidad, existe un marco de referencia donde $$t_A = t_B < t_C, \quad x_A < x_C < x_B.$$ Es imposible para cualquier otro observador ver $C$ antes $A$$B$, debido a la relatividad de la simultaneidad, cambio de tiempo de efecto es lineal en el espacio, sin embargo, $C$ es espacialmente entre $A$$B$.