Euler límite de la fórmula para la función factorial

Question

En Euler primera (conocida) carta de Goldbach en 13 de octubre de 1729 menciona una infinita producto que interpola a la función factorial:

$$s!=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{\left(s+1\right)\left(s+2\right)\cdots\left(s+n\right)}\left(n+1\right)^{s}$$

para cualquier entero $s$. Sin embargo este límite existe para todos compleja $s$, excepto para los números enteros negativos.

Mi pregunta es: ¿Cómo Euler deducir esta infinita de productos?

He visto cómo Gauss deducir una muy similares fórmula:

$$\Pi\left(s\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{\left(s+1\right)\left(s+2\right)\cdots\left(s+n\right)}n^{s}$$

sin embargo, el método de Gauss no explicar cómo el concepto de $(n+1)^s$ aparece en Euler de la representación.

Answer 1

Euler, por supuesto, fue prolífico en su investigación de una serie infinita y productos.

Supuestamente, él examinó un infinito producto con una característica destacada

$$\left(\frac{2^n}{1^n}\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{3^n}{2^n}\frac{2}{n+2}\right)\left(\frac{4^n}{3^n}\frac{3}{n+3}\right)\ldots \ (*)$$

y observa que, si $n$ es un entero positivo, entonces el producto converge a $n!$.

Mediante su notación ($s \in \mathbb{N})$, el producto parcial para $(*)$ puede ser expresado en la forma en $(n+1)^s$ aparece

$$P_n(s)=\frac{n!}{(s+1)(s+2)\ldots(s+n)}(n+1)^{s}.$$

Después de algunos cancelación y manipulación obtenemos $n >s,$

$$P_n(s)=s!\left(\frac{1+1/n}{1+2/n}\right)\left(\frac{1+1/n}{1+3/n}\right)\ldots\left(\frac{1+1/n}{1+s/n}\right),$$

y es evidente que el $P_n(s) \rightarrow s!$ $n\rightarrow \infty.$

Answer 2

Eche un vistazo a este artículo. En particular, p. 853.

También, creo que tu afirmación no es cierta porque $$\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\prod_{k = 1}^n (s + k)} \cdot (n + 1)^s = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\prod_{k = 1}^n (s + k)} \cdot n^s$$ desde $(n + 1) \sim n$, $(n + 1)$ es asintóticamente igual a $n$. En otras palabras, $\lim_{n \to \infty} (n + 1)/n = 1$ o, en el siglo 18, la jerga, si $n$ es un número infinitamente grande, a continuación,$n = n + 1$.

Sin embargo, $\Gamma(s) = (s - 1)!$$s \in \mathbb{N}$, por lo que el resultado se atribuye a Gauss implica que la $\Gamma(s) = s!$, lo cual es falso para todos los $s \ne 1$. Gauss nunca se usa de Legendre de la notación, es decir, $\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s - 1} e^{-x} dx$, en su lugar, él introdujo a su homónimo de la función $\Pi(s)$, lo que equivale a $\Gamma(s + 1)$, e $\Pi(s) = s!$ siempre $s \in \mathbb N \cup \{0\}$. Creo que quisiste decir $$\Pi(s) = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\prod_{k = 1}^n (s + k)} \cdot n^s.$$

Edit: Por cierto, aquí un "moderno" de la prueba que saber de:

Tenga en cuenta que $$\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s - 1} \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{t}{n}\right)^n \, dt = \lim_{n \to \infty} \int_0^n t^{s - 1} \left(1 - \frac{t}{n}\right)^n \, dt.$$ (Se deja como ejercicio.) Repite integración por partes con $u = (1 - t/n)^n$ $v' = t^{s - 1}$ da $$\Gamma(s) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{s} \cdot \frac{n - 1}{(s + 1)n} \cdot \frac{n - 2}{(s + 2)n} \cdots \frac{1}{(s + n - 1)n} \int_0^n t^{s + n - 1} \, dt\right).$$ Por lo tanto, $$\Gamma(s) = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} \prod_{k = 0}^n \frac{n^{s + n}}{s + k} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^s}{s} \prod_{k = 1}^n \frac{k}{s + k},$$ que es equivalente a la fórmula que buscan desde $s\Gamma(s) = \Gamma(s + 1) = s!$ si $s \in \mathbb{N} \cup \{0\}$.

Sin embargo, también es de Euler del producto [p. 853] disfrazado de si $s \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ $s\Gamma(s) = \Gamma(s + 1) = s!$ y \begin{align*} s! &= \lim_{n \to \infty} n^s \prod_{k = 1}^n \frac{k}{s + k} \\ &= \lim_{n \to \infty} (n + 1)^s \prod_{k = 1}^n \frac{k}{s + k} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{(n + 1)^s n!}{(s + 1)(s + 2)(s + 3) \cdots (s + n)} \\ &= \left(\frac{2}{1}\right)^s \frac{1}{s + 1} \times \left(\frac{3}{2}\right)^s \frac{2}{s + 2} \times \left(\frac{4}{3}\right)^s \frac{3}{s + 3} \times \cdots \end{align*}