¿Existen grupos cuyos elementos de orden finito no formen un subgrupo?

Question

Posible duplicado:
Ejemplos y otros resultados sobre el orden del producto de dos elementos de un grupo

Estaba curioseando y me encontré con el pequeño ejercicio de que los elementos de orden finito de un grupo abeliano forman un subgrupo. Esto era bastante fácil, pero ahora me pregunto, ¿hay casos de grupos en los que esto no es cierto?

Estoy pensando que si los hay, estos grupos son necesariamente no abelianos e infinitos, ya que si el grupo es finito los elementos de orden finito serían todo el grupo de todos modos. También me di cuenta de que si un elemento $a$ tiene orden $n$ entonces también $a^{-1}$ por lo que para encontrar un grupo así necesitaría dos elementos de orden finito cuya composición no tuviera orden finito. Los dos grupos infinitos no abelianos que se me ocurren son $\textbf{GL}_n(R)$ y $\textbf{SL}_n(R)$ pero me costó encontrar un par de elementos que cumplieran la propiedad anterior.

¿Alguien tiene un ejemplo de tal grupo y un par de elementos que lo demuestren? Gracias.

Answer 1

Pruebe $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ (orden $4$ ) y $\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 1\end{bmatrix}$ (orden $6$ ). y su producto es $\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ que es de orden infinito.

Answer 2

Retomando uno de los comentarios, consideremos el grupo de simetrías del círculo. Cada vuelta es un elemento de orden 2. Si tenemos dos giros, y el eje de uno se encuentra con el eje del otro en un ángulo irracional (número irracional de grados, o múltiplo irracional de $\pi$ radianes), entonces su producto es una rotación irracional, por lo tanto, de orden infinito.