Cómo relacionar la valoración de x/y (Para una ecuación mínima de Weierstrass)

Question

Estoy leyendo un artículo sobre curvas elípticas, pero como no tengo mucha experiencia en el tema, me he acabado atascando. El problema empieza como:

"Let $K/\mathbb{Q}$ sea un campo numérico y $E/K$ una curva elíptica definida sobre $K$ . Sea $v\in M_K$ sea un lugar finito de buena reducción para $E$ y fijar una ecuación mínima de Weierstrass para $E$ en $v$ , $$y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6$$ Entonces..."

Después de esto hay algunas ecuaciones relativas a la altura canónica local que el artículo quiere demostrar, pero el problema que tengo no es realmente sobre estas ecuaciones. Se trata de la siguiente afirmación hecha durante la prueba:

$``$ La integralidad de la ecuación de Weierstrass implica FÁCILMENTE que \begin{equation}\tag{1} v(x^{-1})<0 \iff v(x/y)<0 \quad" \end{equation}

Después de jugar con la ecuación de Weierstrass y su integralidad ( $v(a_i)\ge 0$ para todos los $i$ '), efectivamente pude concluir

$$v(x)<0 \iff v(y)<0 \quad\text{and in this case }\quad 2v(y)=3v(x)$$ Así $$v(x)<0 \Rightarrow v(y/x)<0$$ Por lo tanto $$v(x/y)\le0 \Rightarrow v(x^{-1})\le0$$

Pero esto fue lo más cerca que pude llegar a la declaración $(1)$ . Ya he intentado (sin éxito) trabajar en la ecuación de Weierstrass de muchas maneras diferentes para explicitar el $(x/y)$ y de alguna manera se las arreglan para relacionar $v(x/y)$ y $v(x^{-1})$ como se esperaba en $(1)$ .

En este punto, debido a la "facilidad" en el texto y ya que no tengo mucha experiencia, estoy empezando a pensar que es algún tipo de truco estándar o me estoy perdiendo algo muy obvio. Agradecería mucho cualquier tipo de ayuda.

Lo siento por mi inglés, no es mi lengua materna.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Si $y$ es una unidad, entonces (1) dice $v(x^{-1})<0$ si $v(x) < 0$ lo cual es una contradicción a menos que $v(x)=0$ . Así que podemos buscar el contraejemplo encontrando un punto donde $v(y)=0$ pero $v(x) \ne 0$ .

Considere la curva $y^2=x^3-4$ en $\mathbb{Q}$ . Su discriminante es $-2^8 3^3$ por lo que es una ecuación mínima global de Weierstrass (ningún primo del discriminante tiene multiplicidad $\ge 12$ - véase Silverman Aritmética de las curvas elípticas capítulo VII, sección 1). Tomemos el punto $x=5$ , $y=11$ y valoración $v$ en el primo 5, que es un primo de buena reducción para esta curva. Entonces $v(y)=0$ , $v(x)=1$ y tenemos nuestro contraejemplo. De hecho, $v(x^{-1}) = v(1/5) = -1$ pero $v(x/y) = v(5/11) = 1$ .