Límite de$(2-\sqrt[n]{2})^n$?

Question

Como se plantea en el título, la cuestión es encontrar:

ps

Wolfram Alpha me lleva a creer que la respuesta correcta es$$\lim_{n\to\infty}(2-\sqrt[n]{2})^n$.

¡Gracias!

Editar:$\dfrac{1}{2}$ va al infinito. Traté de tomar el registro natural, y esto no me ayudó. También intenté reescribir el término como $$ \ left [(1 (1- \ sqrt [n] {2})) ^ {\ frac {1} {1- \ sqrt [n] {2}}} Derecha] ^ {n (1- \ sqrt [n] {2})}, $$ pero tampoco llegó a ninguna parte.

Answer 1

Esta solución utiliza la regla de L'Hopital. ps

ps

Ahora conéctelo para obtener$$\lim_{n\to \infty}(2-\sqrt[n]{2})^n=\lim_{n\to \infty}e^{n\ln (2-\sqrt[n]{2})}=e^{\lim_{n\to \infty}\frac{\ln(2-\sqrt[n]{2})}{1/n}}$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \left[1+\frac{n\left(2^{1/n}-1\right)}n\right]^n &=\left[2^{1/n}\right]^n\\ &=2\tag{1} \end {align} $$ Desde $$ \ lim_ {n \ a \ infty} \ left (1 \ frac xn \ right) ^ n = e ^ x \ tag {2} $$ Converge uniformemente en subconjuntos compactos de$\mathbb{R}$ y$e^x$ está aumentando estrictamente,$(1)$ y$(2)$ {1 / n} -1 \ right) = \ log (2) \ tag {3} $$ Una vez más porque$(2)$ converge uniformemente en subconjuntos compactos de$\mathbb{R}$, $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\left(2-2^{1/n}\right)^n &=\lim_{n\to\infty}\left(1+1-2^{1/n}\right)^n\\ &=\lim_{n\to\infty}\left[1+\frac{n\left(1-2^{1/n}\right)}n\right]^n\\ &=\lim_{n\to\infty}\left[1+\frac{-\log(2)}n\right]^n\\[9pt] &=e^{-\log(2)}\\[12pt] &=\frac12\tag{4} \end {Align} $$

Answer 3

Sugerencia: si$a_n>0$ para todos$n$ y$\lim_{n\to\infty} a_n = a \neq 0,$ entonces$\lim_{n\to\infty} \ln(a_n) = \ln a.$