El $5n+1$ Problema

Question

La Conjetura de Collatz es una famosa conjetura en matemáticas que ha durado por más de 70 años. Se va como sigue:

Definir $f(n)$ a como una función de los números naturales:

$f(n) = n/2$ si $n$ es regular y $f(n) = 3n+1$ si $n$ es impar

La conjetura es que para todos los $n \in \mathbb{N}$, $n$ finalmente converge bajo iteración por $f$$1$.

Me preguntaba si el "5n+1" el problema ha sido resuelto. Este problema es el mismo que el problema de Collatz, excepto que en el anterior se reemplaza $3n+1$$5n+1$.

Answer 1

Usted no debe esperar a que esto es cierto. Aquí está una nonrigorous argumento. Deje $n_k$ ser la secuencia de los números impares de obtener. Así que (de forma heurística), con una probabilidad de $1/2$,$n_{k+1} = (5n_k+1)/2$, con una probabilidad de $1/4$,$n_{k+1} = (5 n_k+1)/4$, con una probabilidad de $1/8$, $n_{k+1} = (5 n_k+1)/8$ y así sucesivamente. Establecimiento $x_k = \log n_k$, aproximadamente la mitad $x_{k+1} \approx x_k + \log 5 - \log 2$ con una probabilidad de $1/2$, $x_{k+1} \approx x_k + \log 5 - 2 \log 2$ con una probabilidad de $1/4$, $x_{k+1} \approx x_k + \log 5 - 3 \log 2$ con una probabilidad de $1/8$ y así sucesivamente.

Así que el cambio esperado de $x_{k}$ $x_{k+1}$es $$\sum_{j=1}^{\infty} \frac{ \log 5 - j \log 2}{2^j} = \log 5 - 2 \log 2.$$

Esto es positivo! Así, heurisitically, espero que esta secuencia para que se ejecute fuera a $\infty$. Esto es diferente de la $3n+1$ problema, donde $\log 3 - 2 \log 2 <0$, y por lo que heurisitically esperar la secuencia a disminuir con el tiempo.

Aquí está un ejemplo numérico. Empecé con $n=25$ y generó $25$ números impares. Aquí está una parcela de $(k, \log n_k)$, frente al crecimiento lineal a lo predicho por mi heurística. Cuenta de que estamos hasta 4 números de dos dígitos y no mostrar signos de descender.

Answer 2

En la Parte I de Lagarias' extensa bibliografía anotada de la 3x+1 problema, señala un documento de 1999 por Metzger (referencia 112) en relación con el 5x+1 problema:

Para el 5x + 1 problema muestra que en los enteros positivos que no hay ciclo de tamaño 1, un único ciclo de tamaño 2, teniendo el elemento más pequeño de n = 1, y exactamente dos ciclos de tamaño 3, teniendo en elementos más pequeños de n = 13 y n = 17, respectivamente.

Es claro a partir de las notas si el documento muestra que estos son sólo los ciclos de la 5x+1 problema o si pueden existir ciclos más largos.

Answer 3

usted tiene el problema equivocado, es resuelto por 13. La generalización siguiente:

if n = 3k then k
if n = 2k then k
else 5n+1