Campo de división y polinomio de grado mínimo

Question

Supongamos que tenemos un campo de división$F$ sobre$Q$ que es una extensión finita. Sea$p(x)$ el polinomio en$Q[x]$ que tiene$F$ como un campo de división y es de grado mínimo. ¿Es correcto que si$Gal(F,Q)$ es isomorfo a$S_n$ entonces$deg \ p(x)=n$? En caso afirmativo, ¿es cierto que, en general,$deg \ p(x)$ es igual$n$ donde$n$ es el número natural mínimo tal que$Gal(F,Q)$ está contenido en$S_n$? Muchas gracias por adelantado.

Answer 1

Sí, sí y sí. En una dirección, si $p(x)$ es un polinomio con la división de campo de $F$, $G = \text{Gal}(F/\mathbb{Q})$ actos fielmente en las raíces de $p(x)$, y esto le da una incrustación de $G$ a $S_n$ donde $n = \deg p$.

En la otra dirección, los datos de una incrustación de $G$ a $S_n$ es de los datos de una fiel acción de $G$ en un conjunto con $n$ elementos. Descomponer esta acción en sus órbitas, y deje $H_1, H_2, \dots H_k$ la correspondiente a los estabilizadores. La condición de que $G$ incrusta en $S_n$ es precisamente la condición de que la intersección de los conjugados de todos los $H_i$ es trivial. Vamos

$$F_i = F^{H_i}$$

ser la subextensions de $F$ correspondiente a la $H_i$. Ahora la condición de que $G$ incrusta en $S_n$ es precisamente la condición de que el $F_i$ han Galois cierre de $F$. Deje $p_i(x)$ ser el polinomio mínimo de un elemento primitivo de $F_i$, y vamos a

$$p(x) = \prod p_i(x).$$

A continuación, $p(x)$ es un polinomio de grado $\sum |G/H_i| = n$ con la división de campo de $F$.