La Regla de L'Hospital, pero el proceso no se detiene

Question

Sea$\Psi:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ una función infinitamente diferenciable en$\Psi^{-1}(a).$

¿Cuál es el límite:

ps

Seguí usando la regla de L Hôpital, pero el proceso no puede ser detenido. Gracias.

Answer 1

\begin{align} l&=\lim_{w\rightarrow \Psi^{-1}(a)} \frac{1}{(\Psi(w)-a)(\Psi')^{1/2}(w)}+\frac{1}{(\Psi'(\Psi^{-1}(a)))^{3/2}(\Psi^{-1}(a)-w)}\\ &=\lim_{w\rightarrow \Psi^{-1}(a)} \frac{\frac1{w-\Psi^{-1}(a)}}{\frac{\Psi(w)-a}{w-\Psi^{-1}(a)}(\Psi')^{1/2}(w)}+\frac{1}{(\Psi'(\Psi^{-1}(a)))^{3/2}(\Psi^{-1}(a)-w)}\\ &=\lim_{w\rightarrow \Psi^{-1}(a)} \left(\frac{1}{\frac{\Psi(w)-a}{w-\Psi^{-1}(a)}(\Psi')^{1/2}(w)}\right)\frac1{w-\Psi^{-1}(a)}\left(1-\frac{\frac{\Psi(w)-a}{w-\Psi^{-1}(a)}(\Psi')^{1/2}(w)}{(\Psi'(\Psi^{-1}(a)))^{3/2}}\right)\\ &=\frac1{(\Psi'(\Psi^{-1}(a)))^{3/2}}\lim_{w\rightarrow \Psi^{-1}(a)} \left(\frac{1}{\frac{\Psi(w)-a}{w-\Psi^{-1}(a)}(\Psi')^{1/2}(w)}\right)\left(\frac{(\Psi'(\Psi^{-1}(a)))^{3/2}-\frac{\Psi(w)-a}{w-\Psi^{-1}(a)}(\Psi')^{1/2}(w)}{w-\Psi^{-1}(a)}\right)\\ \end {align} Ahora define \begin{align}f(w)=\frac{\Psi(w)-a}{w-\Psi^{-1}(a)}(\Psi')^{1/2}(w)\end {align} lo que ayuda a ver que el segundo bit es (menos) la derivada de$f(w)$ en$w=\Psi^{-1}(a)$. El primer bit está claro. Para calcular el segundo bit utilice una expansión de Taylor de$\Psi(w)$ en$\Psi^{-1}(a)$ y simplifique para obtener:$$l=\frac1{(\Psi'(\Psi^{-1}(a)))^{3/2}}\times \frac1{(\Psi'(\Psi^{-1}(a)))^{3/2}} \times \frac{-1}2 2\Psi''\left(\Psi^{-1}(a)\right)(\Psi'(\Psi^{-1}(a)))^{1/2}=\color{red}{-\frac{\Psi''\left(\Psi^{-1}(a)\right)}{(\Psi'(\Psi^{-1}(a)))^{5/2}}}.$ $

Answer 2

Se nos da una holomorphic función de $f$ definida en una vecindad $U$$c\in{\mathbb C}$, y se supone que $$f(c)=a,\qquad f'(w)=g^2(w)\quad(w\in U),\quad g(c)\ne0\ .$$ Poner $$\Phi(w):={1\over\bigl(f(w)-f(c)\bigr)g(w)}-{1\over g^3(c)(w-c)}={g^3(c)(w-c)-\bigl(f(w)-f(c)\bigr)g(w)\over g^3(c)g(w)\bigl(f(w)-f(c)\bigr)(w-c)}\ .\tag{1}$$ Ahora el numerador $N$ en el lado derecho se pueden desarrollar de la siguiente manera: $$\eqalign{N&=g^3(c)(w-c)-\cr&\qquad\left(f'(c)(w-c)+{f"(c)\over2}(w-c)^2+?(w-c)^3\right)\bigr(g(c)+g'(c)(w-c)+?(w-c)^2\bigr)\cr y=-\left({f"(c)g(c)\over2}+f'(c)g'(c)\right)(w-c)^2+?(w-c)^3\ .\cr}$$ Por definición de $g$ tenemos $f''=2gg'$, por lo que el $f'g'=f'{f''\over 2g}={f''g\over2}$. Esto permite escribir $N$ $$N=-f''(c)g(c)(w-c)^2+?(w-c)^3\ .\tag{2}$$ El denominador $D$ en el lado derecho de la $(1)$ es más simple: $$D=g^3(c)g(w)\bigl(f'(c)(w-c)^2+?(w-c)^3)\ .\tag{3}$$ Conectar $(2)$ $(3)$ a $(1)$ obtenemos $$\Phi(w)=-{f''(c)g(c)+?(w-c)\over g^3(c)g(w)\bigl(f'(c)+?(w-c)\bigr)}\ ,$$ así que $$\lim_{w\to c}\Phi(w)=-{f''(c)g(c)\over g^4(c)f'(c)}=-{f''(c)\over\bigl(f'(c)\bigr)^{5/2}}\ .$$ (En el anterior ? destaca en diversas funciones que son analíticas en $U$.)