Para más tarde conveniencia, vamos a $L^k(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)$ denota el espacio vectorial de todas las $k$-lineal mapas de $(\mathbb{R}^n)^{k} \to \mathbb{R}^m$.
Deje $f : U \to \mathbb{R}^m$ ser una función definida en un conjunto abierto $U \subseteq \mathbb{R}^n$. Recordemos que el derivado de $f$ $\mathbf{x} \in U$ es la única transformación lineal $d_\mathbf{x}f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, si es que existe, de tal manera que
$$
\lim_{h \to 0}\frac{\|f(\mathbf{x}+\mathbf{h})-f(\mathbf{x})-d_\mathbf{x}f(\mathbf{h})\|}{\|\mathbf{h}\|} = 0.
$$
Si $f$ realidad es diferenciable en todos los de $U$, entonces la asignación de $\mathbf{x} \mapsto d_\mathbf{x}f$ define una función $f : U \to L^1(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)$, por lo que la segunda derivada de $f$ $\mathbf{x} \in U$ si $d_\mathbf{x}(df) : \mathbb{R}^n \to L^1(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)$ existe, es el bilineal mapa de $d^2_{\mathbf{x}} f \in L^2(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)$ definido por
$$
\forall \mathbf{h}_1,\mathbf{h}_2 \in \mathbb{R}^n, \quad d^2_\mathbf{x}f(\mathbf{h}_1,\mathbf{h}_2) := \left(d_{\mathbf{x}}(df)(\mathbf{h}_2)\right)(\mathbf{h}_1).
$$
En general, por inducción, si $f$ $k-1$- veces diferenciable en todos los de $U$, el $k$th derivados de $f$ $\mathbf{x} \in U$ si $d_\mathbf{x}(d^{k-1}f) : \mathbb{R}^n \to L^{k-1}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)$ existe, es el $k$-lineal mapa de $d^k_{\mathbf{x}} f \in L^k(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)$ definido por
$$
\forall \mathbf{h}_1,\dotsc,\mathbf{h}_k \in \mathbb{R}^n, \quad d^k_\mathbf{x}f(\mathbf{h}_1,\mathbf{h}_2) := \left(d_{\mathbf{x}}(d^{k-1}f)(\mathbf{h}_k)\right)(\mathbf{h}_1,\dotsc,\mathbf{h}_{k-1}),
$$
y la versión adecuada de Taylor teorema ahora dice que
$$
f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) = f(\mathbf{x}) + d_{\mathbf{x}}f(\mathbf{h}) + \frac{1}{2}d^2_\mathbf{x}(\mathbf{h},\mathbf{h}) + \cdots + \frac{1}{k!}d^k_{\mathbf{x}}f(\mathbf{h},\dotsc,\mathbf{h}) + o(\|\mathbf{h}\|^k), \quad \mathbf{h} \a 0.
$$
Así que ahora, descomponer $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n = \mathbb{R}^{n_1} \times \cdots \times \mathbb{R}^{n_k}$ para algunos enteros positivos $n_1,\dotsc,n_k$$n_1 + \cdots n_k = n$. Supongamos que $f : \mathbb{R}^{n_1} \times \cdots \times \mathbb{R}^{n_k} \to \mathbb{R}^m$ se $k$-lineal. Entonces, de hecho,
$$
\forall \mathbf{x}, \mathbf{h} \in \mathbb{R}^n, \quad d^k_{\mathbf{x}}f(\mathbf{h},\dotsc,\mathbf{h}) = k! f(\mathbf{h}),
$$
mientras que $d^lf = 0$$l > k$, por lo que el $f$ está determinada únicamente por su primer $k$ derivados en cualquier punto en $\mathbb{R}^n$. Esto sugiere la siguiente definición de trabajo para approximability por un $k$-lineal mapa en un punto:
Deje $f : U \to \mathbb{R}^m$ $k$- veces derivable la función en un conjunto abierto $U \subseteq \mathbb{R}^{n_1} \times \cdots \times \mathbb{R}^{n_k}$. Vamos a definir el $k$-lineal derivado de $f$ $\mathbf{x} \in U$ a de ser la única $k$-lineal mapa de $[f]_{\mathbf{x},k} : \mathbb{R}^{n_1} \times \cdots \times \mathbb{R}^{n_k} \to \mathbb{R}^m$, si es que existe, de tal manera que
$$
\forall 1 \leq j \leq k, \quad d^j_{\mathbf{0}}[f]_{\mathbf{x},k} = d^j_{\mathbf{x}}f.
$$
Por otro lado, uno puede ver, por ejemplo, a partir del teorema de Taylor, que dos $k$-lineal mapas de $g_1,g_2 : \mathbb{R}^{n_1} \times \cdots \times \mathbb{R}^{n_k} \to \mathbb{R}^m$ son iguales si y sólo si
$$
g_1(\mathbf{h}) = g_2(\mathbf{h}) + o(\|\mathbf{h}\|^k), \quad \mathbf{h} \to 0,
$$
lo que sugiere las siguientes (nominal?) el debilitamiento de la primera definición de trabajo:
Deje $f : U \to \mathbb{R}^m$ ser una función definida en un conjunto abierto $U \subseteq \mathbb{R}^{n_1} \times \cdots \times \mathbb{R}^{n_k}$. Vamos a definir el $k$-lineal derivado de $f$ $\mathbf{x} \in U$ a de ser la única $k$-lineal mapa de $[f]_{\mathbf{x},k} : \mathbb{R}^{n_1} \times \cdots \times \mathbb{R}^{n_k} \to \mathbb{R}^m$, si es que existe, de tal manera que
$$
\lim_{h \to 0}\frac{\|f(\mathbf{x}+\mathbf{h})-f(\mathbf{x})-[f]_{\mathbf{x},k}(\mathbf{h})\|}{\|\mathbf{h}\|^k} = 0.
$$
