¿La solución de $x^x=2$ racional/algebraica irracional/trascendental?

Question

¿Qué el único número real $x$ tal que $x^x=2$ igual? ¿Es el valor racional, algebraico irracional o trascendental? ¿$x^x=3$? ¿O $x^x=e$? $x^x=π$?

Answer 1

El teorema de Gelfond-Schneider dice que $x$ no puede ser una algebraica irracional en el caso de $2$ y $3$, pero no dice nada en el caso de $e$ o $\pi$. Por elementales razones $x$ no podía ser racional, puesto que $(\frac{a}{b})^a=2^b$ es imposible como la derecha es un entero, y la izquierda no es. No puede ser mucho más conocido.

Answer 2

Uno puede encontrar soluciones en términos de la función W de Lambert:

$$x^x=a\\\ln(x)e^{\ln(x)}=\ln(a)\\\ln(x)=W(\ln(a))\\x=e^{W(\ln(a))}=\frac{\ln(a)}{W(\ln(a))}$$

En el caso que estamos resolviendo $x^x=e$, nos encontramos con que

$$x=e^{W(1)}=e^\Omega=\frac1\Omega$$

donde $\Omega$ es el Omega constante, el cual es conocido por ser trascendental, lo $x$ es trascendental. De ello se desprende directamente de la Lindemann-Weierstrass teorema que si $\frac1\Omega$ fueron algebraicas, a continuación, $e^\Omega$ sería trascendental, un contradicition, por lo $\Omega$ debe ser trascendental.

Argumentos similares pueden ser construidos para demostrar que si $a=e^t$ para algebraicas $t$, $x$ es trascendental.