Torsión libre abelian grupos $G,H$ tal que $k[G] \cong k[H]$ (como anillos) cualquier campo $k$

Question

Que $G,H$ ser abeliano libre de torsión grupos tales que $k[G] \cong k[H]$ para cualquier campo $k$; ¿entonces es verdad que el $G \cong H$? Si esto no es cierto, entonces qué pasa si cambio la hipótesis a $R[G]\cong R[H]$ para cualquier anillo comutativo unital de cero; ¿es la verdadera conclusión?

Answer 1

El grupo de unidades de $k[G]$ es exactamente $k^\times\times G$. En particular, si $k=\mathbb{F}_2$, entonces el grupo de unidades es $G$, lo $G$ pueden ser recuperados desde el anillo a $\mathbb{F}_2[G]$.

Para probar esto, tenga en cuenta que cualquier torsiones grupo abelian $G$ admite un orden total compatible con la estructura del grupo (a elegir una totalmente ordenado base para $G\otimes\mathbb{Q}$ y el uso de la lexicográfica del orden). Considerando $k[G]$ $G$- graduado, supongamos $u\in k[G]$ es una unidad con inverse $v$. Deje $a$ ser el grado mínimo de una parte homogénea de $u$ $b$ ser el máximo grado, y deje $c$ ser el grado mínimo de una parte homogénea de $v$ $d$ ser el máximo grado. A continuación, el producto $uv$ tiene partes homogéneas de grado $a+c$ también $b+d$. Desde $uv=1$, debemos tener $a+c=b+d$. Desde $a\leq b$$c\leq d$, esto sólo es posible si $a=b$$c=d$, lo que significa que $u$ $v$ son homogéneos. Es decir, $u$ es una unidad de $k$ veces un elemento de $G$.