Primero algunos antecedentes: Dos estructuras de $\mathcal{M}$ $\mathcal{N}$ son potencialmente isomorfos si existe una no-vacío de la familia de finito parcial isomorphisms entre ellas, de tal forma que
- para que cualquier miembro de la familia $f$$x\in\mathcal{M}$, $y\in\mathcal{N}$ tal que $f\cup\{(x,y)\}$ está en la familia.
- para que cualquier miembro de la familia $f$$y\in\mathcal{N}$, $x\in\mathcal{M}$ tal que $f\cup\{(x,y)\}$ está en la familia.
Equivalentemente, el duplicador tiene una estrategia ganadora en el $\omega$-longitud Ehrenfeucht–Fraïssé juego en $\mathcal{M}$$\mathcal{N}$. También, equivalentemente, $\mathcal{M}$ $\mathcal{N}$ satisfacer el mismo $\mathcal{L}_{\infty\omega}$ frases. También, equivalentemente, $\mathcal{M}$ $\mathcal{N}$ son isomorfos en algunos forzando la extensión del universo.
Esto implica isomorfismo para contables de las estructuras pero no es estrictamente una débil condición para innumerables estructuras. Un ejemplo fácil es dos sin estructura de los conjuntos de cardinalidad $\aleph_0$$\aleph_1$. En general $\omega$-categoricity de una teoría puede ser caracterizada por la condición de que cualquiera de los dos modelos (de cualquier cardinalidad) pueden ser isomorfos.
Llamar a una teoría de la '$\kappa$-potencialmente categórica " si cualquiera de los dos modelos de cardinalidad $\kappa$ son potencialmente isomorfo. Desde siempre se puede extender a $\kappa$modelo del tamaño de una $\omega$saturado modelo sin aumentar el tamaño, esta condición es equivalente a la condición de que todos los modelos de cardinalidad $\kappa$ $\omega$saturado. (Edit: Para cualquier $\kappa$, si todos los modelos de tamaño $\kappa$ $\omega$saturado, entonces la teoría es $\kappa$-potencialmente categórica. Además creo que: Para los contables de las teorías y $\kappa\geq 2^{\aleph_0}$ lo contrario también es cierto; y contables para pequeñas teorías, es decir, $|S_n(T)|\leq \aleph_0$ por cada $n$, lo contrario es cierto para arbitrario $\kappa$.) Hay dos 'trivial' maneras de lograr esto. Si la teoría es ya $\kappa$categoría, entonces cualquiera de los dos modelos son isomorfos por lo que son potencialmente isomorfo. Si la teoría es $\omega$categoría, a continuación, cualquiera de los dos modelos en absoluto son potencialmente isomorfo, por lo que cualquiera de los dos modelos de cardinalidad $\kappa$ son potencialmente isomorfo.
Desde contable categoricity e incontables categoricity son "ortogonales" propiedades, potencial categoricity no puede ser equivalente a cualquiera de ellos, pero podría darse el caso de que estas son las únicas posibilidades.
No he sido capaz de construir un ejemplo de que no es ya categórica en algunos de cardinalidad. Así que mi pregunta es: ¿potencial categoricity siempre implica categoricity en algunos cardinalidad?
Finalmente, suponiendo que no, no potencial categoricity en algunos de los innumerables cardinalidad implicar la posibilidad de categoricity en todos los innumerables cardinalidades (es decir, el análogo del teorema de Morley espera)?
Edit 2: El $\kappa$-potencialmente categórico implica a todos los $\kappa$modelos de tamaño se $\omega$saturada argumento pasa a través de la misma como el estándar argumento de que countably categórico implica el modelo contable es saturada: fijar un $n$tipo $p\in S_n(T)$ y corregir una $m$tipo $q\in S_m(\overline{a})$ donde $\text{tp}(\overline{a})=p$. Siempre podemos construir un modelo, $\mathcal{M}$, de tamaño $\kappa$ el que: -se da cuenta de que el tipo de $p$ por cada $\overline{b}$ tal que $\text{tp}(\overline{b}) = p$, existe un $\overline{c}$ tal que $\text{tp}(\overline{c}/\overline{b})=q$. Así que en cualquier $\kappa$modelo del tamaño de $\mathcal{N}$, ya que el $\mathcal{M}$ $\mathcal{N}$ son potencialmente isomorfo, por un ida y vuelta argumento de $\mathcal{N}$ debe darse cuenta de $p$, y también debe darse cuenta de $q$ sobre cualquier realización de $p$. Ya podemos hacer esto con cada tipo individualmente $\mathcal{N}$ debe $\omega$saturado.
Esto significa que si $\aleph_0<\kappa<2^{\aleph_0}$ cualquier $\kappa$-potencialmente categórica teoría debe ser pequeño (es decir, $|S_n(T)|\leq \aleph_0$ por cada $n$) debido a la no $\kappa$modelo del tamaño puede darse cuenta de $2^{\aleph_0}$ muchos tipos.
