Coeficientes binomiales que son potencias de 2

Question

Me gustaría una prueba ese % ${{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = 2^m$$n,k,m\in \mathbb{N}$, sólo si $k=1$ o $k=n-1$.

Me parece que esto debe ser verdad ya que para otros valores de $k$ el numerador contiene más factores que no son potencias de 2 que el denominador. Además, el numerador también contiene factores más grandes que el denominador y por lo tanto no pueden todos ser cancelado. Sin embargo, he sido incapaz de formar una prueba elegante y hermética.

Answer 1

Bertrand Postulado implica que para $n \ge 1$ siempre hay un primer $p$$n < p \le 2n$.

Sylvester fortalecido este resultado:

Si $n \ge 2k$, entonces al menos uno de los números de $n, n - 1, n - 2, \cdots, n - k + 1$ tiene un divisor primo $p > k$.

Por lo tanto, si $n \ge 2k$, lo que siempre podemos asumir desde $\displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$, luego

$$\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$$

cuenta con una privilegiada $p$ en el numerador con $p > k$. Por lo tanto $p \mid \binom{n}{k}$. Ya que estamos asumiendo $k, n - k \ge 2$ esto demuestra que $\binom{n}{k}$ no es una potencia de $2$.

Referencia

M. Aigner Pruebas DEL LIBRO, Springer (2014), 5ª ed. (Ch. 2, 3)