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Coeficientes binomiales que son potencias de 2

Me gustaría una prueba ese % {{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = 2^m n,k,m\in \mathbb{N}, sólo si k=1 o k=n-1.

Me parece que esto debe ser verdad ya que para otros valores de k el numerador contiene más factores que no son potencias de 2 que el denominador. Además, el numerador también contiene factores más grandes que el denominador y por lo tanto no pueden todos ser cancelado. Sin embargo, he sido incapaz de formar una prueba elegante y hermética.

18voto

T. Gunn Puntos 1203

Bertrand Postulado implica que para n \ge 1 siempre hay un primer pn < p \le 2n.

Sylvester fortalecido este resultado:

Si n \ge 2k, entonces al menos uno de los números de n, n - 1, n - 2, \cdots, n - k + 1 tiene un divisor primo p > k.

Por lo tanto, si n \ge 2k, lo que siempre podemos asumir desde \displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}, luego

\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}

cuenta con una privilegiada p en el numerador con p > k. Por lo tanto p \mid \binom{n}{k}. Ya que estamos asumiendo k, n - k \ge 2 esto demuestra que \binom{n}{k} no es una potencia de 2.

Referencia

M. Aigner Pruebas DEL LIBRO, Springer (2014), 5ª ed. (Ch. 2, 3)

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