Aproximaciones de puntos fijos de tangente.

Question

Esta pregunta viene de un examen, años atrás.

Mostrar que $f(x)=\tan x-x$, para cada entero positivo $n$, tiene exactamente una raíz $x_n$ en el intervalo de $(n\pi,n\pi+\pi/2)$. Y muestran que $$x_n=n\pi+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n\pi}+\text{o}\left(\frac{1}{n}\right).$$

Puedo demostrar la afirmación acerca de la existencia de $x_n$, por intermidiate valor teorema, pero estoy atrapado por el segundo punto.
Desde $\tan x$ no es una contracción, no podemos aplicar la asignación de contracción teorema de aquí. Además, el uso de Taylor aproximación, o la forma de Lagrange del resto, he llegado a $$\tan x=(x-n\pi)+\frac{f^{(3)}(\theta)}{6}x^3$$ for some $\theta$ between $x$ and $n\pi$. It seems that, however, I can only obtain information about this $\theta$ along this direction, not about $x_n$.
Cualquier sugerencia o ayuda es muy apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

Primero Observe que $x_n-n\pi\to\frac\pi2\cdot$ esto es porque $0<x_n-n\pi<\frac\pi2$ y $\tan(x_n-n\pi)=\tan(x_n)=x_n\to+\infty$.

Ahora, poner $z_n=x_n-n\pi-\frac\pi2\cdot$ % entonces $z_n\to 0$, que $z_n\sim \tan(z_n)$ $n\to\infty$. $\tan(z_n)=\tan(x_n-\frac\pi2)=-\tan(x_n)=-\frac1{x_n}$, Así que conseguir $z_n\sim -\frac1{x_n}\cdot$, $x_n\sim n\pi$ desde $n\pi<x_n<n\pi+\frac\pi2$; así $z_n\sim-\frac{1}{n\pi}$ y por lo tanto podemos escribir $z_n=-\frac{1}{n\pi}+o(\frac1n).$ esto es lo que quieres por la definición de $z_n$.