Demuestra que $A=0 \iff \operatorname{tr}(A)=0$ donde $A= M_1+ \cdots +M_{\ell}$ .

Question

Dejemos que $G=\{M_1, M_2, \ldots ,M_{\ell}\} \subset \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , de tal manera que $G$ forma un grupo para la multiplicación matricial habitual.

Denote $A= M_1+ \cdots +M_{\ell}$ .

Demuestra que $$A=0 \iff \operatorname{tr}(A)=0$$

Estoy totalmente atascado aquí, si alguien tiene alguna idea, por favor compártala.

Gracias de antemano.

Answer 1

He aquí una idea: utilizar el hecho de que $G$ forma un grupo, observe que para cada $i$ tenemos $$ M_iG = \{M_iM_1,M_iM_2,\dots,M_iM_\ell\} = G $$ De ello se desprende que $$ A^2 = \left(\sum_{i=1}^\ell M_i\right)^2 = \sum_{i=1}^\ell \sum_{j=1}^\ell M_i M_j = \sum_{i=1}^\ell \left(\sum_{M \in G} M \right) = \ell\cdot (M_1 + \cdots + M_\ell) = \ell\cdot A $$ Eso es, $A^2 = \ell A$ es decir, que $A(A-\ell I) = 0$ . ¿Qué nos permite deducir esto sobre $A$ ¿el polinomio mínimo?

Considerando los valores propios de $A$ (¿qué pueden ser?) y observando que $A$ debe ser diagonalizable (¿por qué?), podemos concluir que si $A$ tiene un rastro de $0$ sólo puede ser la matriz cero.