Encontrar el límite de la secuencia

Question

Encuentra el límite de $$ \lim_{n \to \infty} \left( \sin \frac{n}{n^2+1^2} + \sin \frac{n}{n^2+2^2} + \dotsb + \sin \frac{n}{n^2+n^2} \right) $$

Creo que es una integral de Riemann pero no he encontrado la expresión de la integral de Riemann.

Answer 1

Para $n\gg 0$ , $\frac{n}{n^2+k^2}\approx 0$ y por lo tanto $\frac{\sin\frac{n}{n^2+k^2}}{\frac n{n^2+k^2}}\approx 1$ . Esto nos permite olvidarnos del seno. Entonces los sumandos se convierten en $$ \frac{n}{n^2+k^2}=\frac1n\cdot\frac{n^2}{n^2+k^2}=\frac1n\frac{1}{1+(k/n)^2}=\frac{f(k/n)}n$$ con $f(x)=\frac1{1+x^2}$ y ahí tienes tu suma de Riemann

Answer 2

Utilice la desigualdad para $x \in (0, \pi/2)$ : $$x\cos x < \sin x < x.$$ El límite superior de la suma es $$\sum_{i = 1}^n \frac{n}{n^2 + i^2}.\tag{1}$$ Mientras que desde $\cos x$ es decreciente en $(0, \pi/2)$ un límite inferior de la suma es $$\cos\left(\frac{n}{n^2 + 1}\right)\sum_{i = 1}^n \frac{n}{n^2 + i^2}. \tag{2}$$ Desde $\lim_{n \to \infty} \cos(n/(n^2 + 1)) = 1$ , $(1)$ y $(2)$ tienen el mismo límite que $n \to \infty$ . El principio de compresión identifica entonces que el límite de la suma original es el mismo que el límite de $(1)$ , que se puede manejar con la suma de Riemann.