Generadores de normalización de una álgebra de mentira

Question

Ok, así que estoy preguntando esto en la física porque actualmente estoy trabajando en el medio de la parte de Srednicki del texto en QFT, aunque en realidad es una pregunta de matemáticas.

En Srednicki del capítulo sobre la no-Abelian teoría de gauge, presenta a los generadores de una Mentira grupo. En el momento sólo estamos analizando $SU(N)$, el cual es definido por $M M^\dagger = 1$ $\det(M) = 1$ todos los $M \in SU(N)$

Y las condiciones correspondientes en los generadores del grupo se $T = T^\dagger$ ${\rm Tr}(T) = 0$ todos los $T \in \mathfrak{su}(N)$

Entonces lo que no entiendo es que Srednicki me dice que debemos normalizar nuestros generadores de modo que $${\rm Tr}(T^i T^j) = \frac{1}{2}\delta^{ij}.$$

Así que, presumiblemente, esto se presenta debido a que nuestro conjunto de $N^2-1$ generadores es una base para el espacio de la tangente de $SU(N)$ a la identidad, y nos eligen para ser ortogonales y, a continuación, necesita una condición para normalizar las longitudes de todos los vectores de la base? ¿Por qué la condición Srednicki dio a hacerlo? ¿Y a dónde hemos de entrada que los vectores son ortogonales?

Answer 1

Sólo una conjetura... El propósito es reproducir las buenas características de $SU(2)$. Con ese convenio, los generadores de $SU(2)$ son, en términos de las matrices de Pauli $$T^i = \frac{1}{2}\sigma^i$$ Así, una transformación con los parámetros de $\theta_i$ está dado por $$U=\exp\left(-i\frac{1}{2}\theta_i\sigma^i\right)$$ Las cosas se ponen tanto cuando te das cuenta de que los elementos de la $SU(2)$ están relacionadas con la habitual rotaciones $SO(3)$ (es decir, $SU(2)$ es el doble de la cubierta de $SO(3)$), y los parámetros de $\theta_i$ son iguales a los ángulos de rotación alrededor de los ejes. Si hubiéramos elegido otra convención, extra factores que parece, y los parámetros pareciera ser proporcional (pero no iguales) a los ángulos. No es un gran problema, pero un poco más feo.

Una vez que haya elegido un convenio para $SU(2)$, parece natural para generalizar a $SU(N)$.

Addendum: el Presente convenio es bastante común, pero no universal. Por ejemplo, Elvang y Huang (arxiv:1308.1697) elija $\textrm{Tr}(T^a T^b) = \delta^{ab}$ con estructura de las constantes de $[T^a, T^b]=i \tilde{f}^{abc}T^c$. Están relacionados con la "costumbre" de la estructura de las constantes por $\tilde{f}^{abc} = \sqrt{2}f^{abc}$. De esta manera, que deshacerse de algunos de $\sqrt{2}$ factores.

Answer 2

El % de la álgebra de mentira $\mathfrak{su}(N)$, como un espacio del vector de matrices, puede ser equipado con el estándar producto interno:\begin{align} \langle X,Y\rangle = \mathrm{tr}(X^\dagger Y), \end align {} $X^\dagger Y$ Dónde está el producto de la matriz de $X^\dagger$ y $Y$ y $\mathrm{tr}$ es el rastro. Desde $X^\dagger = X$ % todo $X\in\mathfrak{su}(N)$, el lado derecho se reduce a $\mathrm{tr}(XY)$. Así, la condición que srednicki escribe expresa ortogonalidad con respecto a este producto interno estándar, y Srednicki decide normalizar los generadores para tener cuadrados norma $1/2$.