¿Técnicas para determinar intuitivamente si existe o no el límite de una función?

Question

En uno de mis últimos exámenes de cálculo, tuve problemas con una pregunta de varias partes que pedía "Evaluar los límites que existen, o demostrar que no existen", ya que a menudo me asaltaban las dudas sobre si cada límite existe, y acababa perdiendo el tiempo cambiando mis respuestas.

Ahora, con mi final a finales de esta semana, lo último que quiero hacer es pasar tiempo dudando de si el límite existe o no. ¿Qué tipo de técnicas puedo utilizar para determinar intuitivamente la existencia de un límite de una función antes de profundizar en la evaluación o en una prueba de inexistencia?

Estoy en un curso de Cálculo de una sola variable de primer año; aquí hay algunos límites.

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x^2) + \sin^2(5x)}{x^2}$$

$$\lim_{x \to 3^+} \frac{\sqrt{x - 3}}{|x - 3|}$$

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x - 1}$$

Answer 1

La intuición viene con la experiencia, y es difícil de captar con reglas simples. He aquí un consejo más práctico: Empieza a reescribir la expresión tal y como lo harías al calcular el límite, y entonces normalmente te darás cuenta después de un rato si funciona o si hay algún tipo de obstáculo que hace que el límite no exista.

Answer 2

Hay que estar atento a los límites conocidos, relacionando los nuevos con los límites con los que se tiene experiencia.

El primer límite se puede manipular para que esté en términos de los famosos límites: observe que $$\frac{\tan(3x^2)}{x^2} = 3\left(\frac{\tan(3x^2)}{3x^2}\right) = 3\left(\frac{\sin(3x^2)}{3x^2}\right)\left(\frac{1}{\cos(3x^2)}\right)$$ y $$\frac{\sin^2(5x)}{x^2} = \left(\frac{\sin(5x)}{x}\right)\left(\frac{\sin(5x)}{x}\right) = 25\left(\frac{\sin(5x)}{5x}\right)\left(\frac{\sin(5x)}{5x}\right).$$ Cuando $x\to 0$ el coseno no da problemas, y los límites que involucran al seno son de la forma $$\lim_{u\to 0}\frac{\sin(u)}{u}$$ que deberías reconocer. Esto sugiere que el límite existe, y cómo calcularlo.

El segundo límite está ofuscado: ya que $x\to 3^+$ se puede eliminar el signo de valor absoluto (ya que $x\gt 3$ así que $|x-3| = x-3$ ) y luego tienes $$\frac{\sqrt{x-3}}{|x-3|} = \frac{\sqrt{x-3}}{x-3}$$ que es de la forma $\frac{\sqrt{u}}{u}$ . Ahora debería ser fácil ver que como $u\to 0^+$ Este límite no existe (simplifícalo).

Para el tercer límite, se tiene un polinomio en $\sqrt{x}$ dividido por un polinomio en $\sqrt{x}$ y ambos van a $0$ cuando $x\to 1$ . Deberías esperar ser capaz de factorizar $(\sqrt{x}-1)$ del numerador y del denominador y cancelarlos. Como el denominador es $(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$ sólo habrá un único factor de $\sqrt{x}-1$ por lo que el límite debería existir después de cancelar esos factores (el nuevo denominador no será $0$ en $x=1$ ). Efectivamente: el numerador es $u^4 - u = u(u^3-1)=u(u-1)(u^2+u+1)$ (con $u=\sqrt{x}$ ), el denominador es $(u-1)(u+1)$ para que puedas cancelar y evaluar.

Answer 3

Si recuerdan muy temprano muestran que $\sin(small) = small + \ldots, \cos(small) = 1 - \frac{1}{2}small^2 + \ldots$ y $\tan(small) = small + \ldots$ también el teorema del binomio $(BIG + small)^n = BIG^n + nBIG^{n-1}small + \ldots$ .

cómo se traduce esto en la búsqueda de límites. tome su primera pregunta $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x^2) + \sin^2(5x)}{x^2}?$ esto se reduce a encontrar $\lim_{x \to 0}\frac{3x^2 +(5x)^2 }{x^2}$ que es 28. cuando se tienen pequeños argumentos para $\sin$ o $\tan$ puede soltar el $\sin$ o $\tan$ y el cociente con el que tienes que lidiar ahora es una función racional que debería ser más fácil.

encontrar los límites cuando $x$ se acerca a un no-cero puede ser manejado con un cambio de variable.

Answer 4

Todos estos límites los empezaría simplemente estimando la potencia dominante en el numerador/denominador. Mi proceso de pensamiento al verlos fue así:

Primer límite: " $\sin$ y $\tan$ parecer $x$ cerca de cero, ambos se elevan al cuadrado (dentro o fuera de la función no importa), por lo que se ven como $x^2$ . $x^2$ en el denominador empata con ellos, por lo que deberíamos mirar los coeficientes para averiguar cuál será la relación límite. Probablemente $\frac{3+5}{1}$ = 8, ya que los coeficientes tienden a entrar y salir de $\sin$ y $\tan$ en el límite".

Segundo límite "Se acerca a 3 como una raíz cuadrada en el numerador y como $x$ en el denominador, la potencia más alta gana por lo que llega al infinito". (Si necesitamos saber si es infinito positivo o negativo, comprobamos los signos para encontrar que todo es positivo sin importar $x$ es para que sea $+\infty$ .)

Tercer límite: "Factorizar un $\sqrt{x}$ en el numerador, que entonces no importa ya que va a 1. Ahora la parte superior se aproxima como $x^{\frac{3}{2}}$ y el fondo se aproxima como $x$ el poder superior gana, por lo tanto va a cero".

Este tipo de razonamiento no da pruebas y no sería aceptado como respuesta. De hecho, me equivoqué de límite en la primera, porque me olvidé de elevar al cuadrado los coeficientes en el $\sin$ función. Pero averiguar qué piezas de la ecuación "ganan" (y recordar cosas como $\sin$ y $\tan$ con aspecto de $x$ o $\cos$ con aspecto de $1-x^2$ o potencia menor < potencia mayor < exponencial < factorial) puede realmente darle una conjetura muy precisa sobre el límite que debe esperar.