Que $F$ ser un campo y que $K_1$, $K_2$ dos campos división $F$ (supongamos que están contenidas en un mayor % de campo $K$). ¿Es $K_1\cap K_2$ necesariamente un campo división $F$?
La afirmación es cierta si $K_1$ y $K_2$ son extensiones finitas de $F$, sin embargo no estoy seguro de cómo probar (o refutar) la declaración en el caso general.
Gracias.
La siguiente es la norma; por ejemplo, aparece en Lang Álgebra.
La proposición. Deje $K$ ser una extensión algebraica de $F$, contenida en algunos algebraicas cierre de $\overline{F}$$F$. Los siguientes son equivalentes:
Cada incrustación de $K$ a $\overline{F}$ $F$ es un automorphism de $K$.
$K$ es como la división de campo de más de $F$.
Cada polinomio irreducible $f(x)\in F[x]$ que tiene al menos una raíz en $K$ se divide $K$.
Prueba. 1$\Rightarrow$2,3: Vamos a $a\in K$, y deje $f(x)$ ser su polinomio irreducible sobre $F$. Si $b$ es cualquier raíz de $f(x)$$\overline{F}$, entonces el isomorfismo $F(a)\to F(b)$ que se asigna a $a$ $b$se extiende a una incrustación de $K$$F$; por 1, es una automorphism de $K$, lo $b\in K$. Por lo tanto, un polinomio irreducible en $F[x]$ que tiene al menos una raíz en $K$ tiene todas sus raíces en $K$, lo que demuestra 3. Dejando $S$ ser la colección de polinomios irreducibles sobre $F$ de los elementos de $K$ muestra que $K$ es una división de campo de más de $F$.
2$\Rightarrow$1: Deje $S=\{f_i\}$ ser una familia de polinomios tales que el $K$ es la división de campo de la $S$$F$. Si $a$ es una raíz de algunos $f_i$$a\in K$, entonces para cualquier incrustación de $K$ en $\overline{F}$, $a$ se debe asignar a una raíz de $f_i$; pero las raíces de $f_i$ son todos en $K$. Por otra parte, desde la $K$ se genera sobre $F$ por las raíces de las $f_i$, entonces esto significa que cada elemento de a $K$ se asigna a un elemento de $K$ bajo la incrustación. Por lo $K$ satisface la condición 1.
3$\Rightarrow$1: Deje $\sigma\colon K\to\overline{F}$ ser una incrustación $F$. Deje $a\in K$, y deje $f(x)$ ser el monic irreductible de $a$$F$. Si $\sigma\colon K\to\overline{F}$ es cualquier incrustación de más de $F$, $\sigma$ mapas de $a$ a raíz de $f(x)$; pero por supuesto, todas las raíces de $f(x)$$K$, lo $\sigma(a)\in K$. Por lo tanto, $\sigma$ mapas de $K$ dentro de sí mismo, demostrando 1. QED
A partir de esto, es fácil comprobar que la intersección de dos dividir los campos es de hecho una división de campo.
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