Pregunta difícil límite

Question

Demostrar que número real $p\geq 0$ tenemos

$$\lim_{n\to\infty}\frac{(1^{1^p} \cdot2^{2^p}\cdots n^{n^p})^\frac{1}{n^{p+1}}}{n^\frac{1}{(p+1)}} = \exp\left(\dfrac{-1}{(p+1)^2}\right).$$

Answer 1

Como han señalado varias respuestas/sugerencias: considerar el logaritmo natural de la LHS. Tenemos %#% $ #%

Entonces aplicamos el teorema de Stolz-Cesaro, como

\begin{align}\lim_{n\to\infty}&\frac{(p+1)(n+1)^p\ln(n)-(n+1)^{p+1}\ln(n+1)+n^{p+1}\ln(n)}{(p+1)((p+1)n^p+...+1)}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{(p+1)n^p\ln(n)-n^{p+1}\ln(n+1)-(p+1)n^p\ln(n)+n^{p+1}\ln(n)+o(n^p)}{(p+1)((p+1)n^p+o(n^p))}\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{n\ln\left(1-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{o(n^p)}{n^p}}{(p+1)((p+1)+\frac{o(n^p)}{n^p})}\\&=\frac{-1}{(p+1)^2}\end {Alinee el}

El % varios $$\frac{1^p\ln(1)+2^p\ln(2)+..+n^p\ln(n)}{n^{p+1}}-\frac{\ln(n)}{p+1}=\frac{(p+1)1^p\ln(1)+..+(p+1)(n)^p\ln(n)-n^{p+1}\ln(n)}{(p+1)n^{p+1}}$son la suma de los términos de la forma $o(n^p)$ o $n^k\ln(n+1)$, $n^k$ en el numerador y el denominador respectivamente. Está claro por qué estos términos son iguales a $k<n$

Answer 2

Unos pensamientos aquí:
1) regla de L'Hopital podría ser útil. Por lo menos, vale la pena explorar.
2) el Consejo a considerar que el registro de la expresión parece una buena idea, incluso si no utilizas el integral para resumir el resultado. Si el límite de la logaritmo natural de la expresión de l.h.s es $-1/(p+1)^2$ tiene el resultado.