Subconjuntos cerrados en el espacio métrico

Question

Quiero demostrar que cualquier subconjunto cerrado $F$ $(E,d)$ espacio métrico puede ser escrita como una lista intersección de conjuntos abiertos, es decir,

$$F=\bigcap_{n\in\mathbb{N}} \Theta_n; \Theta_n=\bigcup_{x\in F} B(x,\frac{1}{n})$$

Está claro que $F\subset \bigcap_{n\in\mathbb{N}} \Theta_n$

Supongo que el $y\in \Theta_n$ $n\in \mathbb{N}^*$ y el $y\notin F$ %, es decir, $\exists \delta>0; B(y,\delta)\cap F\neq \emptyset$pero el hecho $y\in \Theta_n$ significa que hay $x\in F$ tal que $d(x,y)<\frac1n, \forall n\in \mathbb{N}$ todavía bien $n$ tal que $\frac1n<\delta$ y $x\in F\cap B(y,\delta)$ contradicción.

¿Pero no sé dónde utilizar el hecho de que esté cerrado $F$ y $\Theta_n$ está abierto?

Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Para cada subconjunto definir $S$ $$d(x,S)=\inf\{d(x,s):s\in S\} $$ which is a continous function on $$ %E

y tratar de mostrar que $$F=\bigcap_{n\in\mathbb{N}} \theta_n$$ where $% $ $\theta_n =\{x\in E : d(x,F)<\frac{1}{n} \}$

debido a la continuidad está abierto para cada $\theta_n$ $n\in \mathbb N$

Answer 2

Supongamos $y\in\Theta_n$, para todos los $n$$y\notin F$.

Desde $F$ es cerrado, no existe $\delta>0$ tal que $B(y,\delta)\cap F=\emptyset$.

Considere la posibilidad de $n$ tal que $1/n<\delta$. Desde $y\in\Theta_n$, $x\in F$ tal que $y\in B(x,1/n)$ (por la definición de $\Theta_n$).

A continuación,$d(x,y)<1/n<\delta$, lo $x\in B(y,\delta)$. Desde $x\in F$,$x\in B(y,\delta)\cap F$, lo $B(y,\delta)\cap F\ne\emptyset$.

Contradicción.

Por lo tanto, una $y$ debe pertenecer a $F$ y hemos demostrado que $$ F=\bigcap_{n>0}\Theta_n $$

Desde $\Theta_n$ es abierto por la construcción (una unión de abrir esferas), se sigue que cada conjunto cerrado en un espacio métrico es un contable intersección de abrir los conjuntos (a $G_\delta$, en una terminología común).

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Además

Una forma alternativa de probar que, si $y\in\Theta_n$ todos los $n$, $y\in F$ es como sigue.

Deje $n>0$; a continuación,$y\in \Theta_n$, lo $y\in B(x_n,1/n)$, para algunas de las $x_n\in F$. Vamos a ver que la secuencia de $(x_n)$ converge a $y$.

Fix $\varepsilon>0$ y tome $n$ tal que $n>1/\varepsilon$. Entonces $$ d(x_n,y)<1/n<\varepsilon $$ Así, tomando los $\bar{n}>1/\varepsilon$, vemos que, para cada $n\ge \bar{n}$,$d(x_n,y)<\varepsilon$, lo que equivale a nuestra tesis.

Desde $F$ es cerrado y $y$ es el límite de una secuencia en $F$,$y\in F$.

Nota. Esta es esencialmente la misma que la prueba por contradicción de arriba. No es ni más ni menos correcto.