¿Está $f(x) = |\arctan(x)|$ $\mathbb{R}$?

Question

¿Está $f(x) = |\arctan(x)|$ $\mathbb{R}$?

Im comprobar si las propiedades de una norma tiene $f(x) = |\arctan(x)|$.

$1. \ f (x) \ge 0 \Leftrightarrow | \arctan(x) | \ge 0 \\ 2. \ f (x) = 0 \Leftrightarrow | \arctan(x) | = \Leftrightarrow 0 x = 0 \\ $

Pero no $f(\lambda x)=|\arctan(\lambda x)|\Leftrightarrow |\lambda||\arctan(x)|?$ $\lambda \in \mathbb{K}$.

Además, ¿cómo sería comprobar si $|\arctan(x+y)| \le |\arctan(x)|+|\arctan(y)|$?

Answer 1

$\arctan$ puede ser utilizado a distancia, pero no como una norma. (Como $d(x,y) = |\arctan(x)-\arctan(y)|$, que produce un espacio métrico incompleto).

$\arctan$ es limitado, por lo que no puede satisfacer $|\arctan(\lambda x)| = |\lambda||\arctan(x)|$.