$\lim\limits_{n\to\infty}\Bigl[\sin\Bigl(\dfrac{n}{n^2+1^2}\Bigr)+\sin\Bigl(\dfrac{n}{n^2+2^2}\Bigr)...+\sin\Bigl(\dfrac{n}{n^2+n^2}\Bigr)\Bigr]$

Question

Encontrar el límite de $\Bigl[\sin\Bigl(\dfrac{n}{n^2+1^2}\Bigr)+\sin\Bigl(\dfrac{n}{n^2+2^2}\Bigr)...+\sin\Bigl(\dfrac{n}{n^2+n^2}\Bigr)\Bigr]$ usando integrales de Riemann de una función adecuada.

$\Bigl[\sin\Bigl(\dfrac{n}{n^2+1^2}\Bigr)+\sin\Bigl(\dfrac{n}{n^2+2^2}\Bigr)...+\sin\Bigl(\dfrac{n}{n^2+n^2}\Bigr)\Bigr]=\dfrac{1}{n}\Bigl[\sin\Bigl(\dfrac{1}{1+(\dfrac{1}{n})^2}\Bigr)+\sin\Bigl(\dfrac{1}{1+(\dfrac{2}{n})^2}\Bigr)+...\Bigr]$

Por lo tanto la función es $\sin\Bigl(\dfrac{1}{1+x^2}\Bigr)$ y va desde $0$ $1$

$\displaystyle\int_0^1\sin\Bigl(\dfrac{1}{1+x^2}\Bigr)dx=?$

¿Esto no es un integral fácil de computar, pero la cuestión principal en este ejercicio es piensa convertir la suma en una integral y no la informática, así que tal vez hice un error en alguna parte?

Answer 1

En este caso, $n \to \infty$, el argumento de la función seno es pequeño por lo que podemos hacer la aproximación

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \sin{\left ( \frac{n}{n^2+k^2}\right )} = \lim_{n\to\infty}\frac1{n}\sum_{k=1}^n \frac1{1+\frac{k^2}{n^2}}$$

que de hecho es una suma de Riemann con límite

$$\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{4}$$