Evaluar $$\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{\sqrt{n^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n^2+2n}}$$
$$$$ Me encontré con la pregunta en este mismo sitio, pero tenía algunas dudas sobre la solución dada. Como yo todavía no tiene 50 puntos de reputación, que no puedo comentar por allí. Podría alguien ayudarme por favor? $$$$ Por lo que yo entiendo de el Teorema del encaje, las tres funciones están relacionadas como $$g(x)\le f(x)\le h(x)$$ $$$$ Ahora en la selección de los términos, la siguiente desigualdad se ha utilizado: $$\displaystyle \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \leq \frac{1}{n} $$when $0 \leq k \leq 2n$ $$$$ Esta desigualdad de plomo a la que se utiliza como las tres funciones para la aplicación del teorema del sándwich:
$$\frac{2n+1}{n+1} \leq S(n) \leq \frac{2n+1}{n}$$ donde $S(n)=\dfrac{1}{\sqrt{n^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n^2+2n}}$ $$$$ No entiendo cómo la $$\displaystyle \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} $$ $$$$ No $$n^2+k\le n^2+2n<(n+1)^2 \Rightarrow n^2+k<(n+1)^2$$ $$\Rightarrow \sqrt{n^2+k}< (n+1)$$$$\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{n+1} < \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}$$
$$$$ Por lo tanto no debería el conjunto resultante de las desigualdades ser $$\displaystyle \frac{1}{n+1} < \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \leq \frac{1}{n} $$
$$\Longrightarrow \frac{2n+1}{n+1} < S(n) \leq \frac{2n+1}{n}$$
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En este caso hay un $<$ señal en lugar de la $\le$ signo. Entonces, ¿cómo puede el Teorema del sándwich ser aplicado? Muchas gracias de antemano. $$$$ EDIT: También, desde los Límites de preservar las Desigualdades, ¿cómo puede $$\lim_{n\to \infty} \frac{2n+1}{n+1} = \lim_{n\to \infty}\frac{2n+1}{n}$$ when $$\frac{2n+1}{n+1} < \frac{2n+1}{n}$$
