si $f\left(x\right)=\int\limits _{0}^{x}f\left(t\right)dt$$f \equiv 0$?

Question

$f:[0,\infty)\rightarrow\mathbb R$ es una función que para todos los $0\leq a<b\in \mathbb R$, $f_{|[a,b]}:[a,b]\rightarrow \mathbb R$ es integrable. suponiendo que en todos los $x\in[0,\infty)$ , $f\left(x\right)=\int\limits _{0}^{x}f\left(t\right)dt$ a continuación, $f\equiv0$

mi intento:

Primero debemos saber que $f\left(x\right)=\int\limits _{0}^{x}f\left(t\right)dt$ $f(x)$ es un anti derivado de la misma y continua en $[0,\infty)$ $$ f\left(x\right) = \int\límites de _{0}^{x}f\left(t\right)dt\Rightarrow f\left(x\right)-f\left(0\right)=f\left(x\right) \Rightarrow f\left(0\right)=0 $$ Ahora, según el valor medio teorema debido a $f$ es continua y derivados en $[0,\infty)$ existe $c\in[0,\infty)$ y $$ f(c)=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}\Rightarrow f\left(c\right)=\frac{f\left(x\right)}{x} $$

Podría ser que este intento no me llevan a una solución, pero esto es todo lo que tengo ahora. si usted tiene alguna idea...

Answer 1

Creo que hay un método más sencillo para que... hasta donde yo sé, no es sólo función de la satisfacción de $F(x)=f(x)$ (donde F es una antiderivada de f). Esta función es$f(x)=ae^x$, por definición de la función exponencial. Dando a su situación, $F(x) = 0$ $x=0$ pero $\forall x\in\Bbb R, e^x > 0$$a=0$. Entonces la única función posible $f$ satisfacción $F(x)=f(x)$$f(x)=0$.

EDIT : también se puede pensar en utilizar el aire de la representación de la integral. $\int\limits_a^b f(x)dx$ es, al $f(x)$ es continua en a $[a;b]$, el algebric medida del aire delimitada por $x=a, x=b, y=0$$y=f(x)$. Así que cuando escriba $\int\limits_0^x f(t)dt=0$, esto significa que el aire es nula para todos los $x \in\Bbb R$. Entonces la única función de tener un nulo el aire a través de los reales es $f(x)=0$.

Answer 2

Deje $g(x)=\mathrm e^{-x}f(x)$. Entonces $$g'(x)=f'(x)\mathrm e^{-x}-f(x)\mathrm e^{-x}=0.$$ Como $g(0)=0$,$g(x)=0$, para todos los $x$, y el resultado de la siguiente manera.