no estándar de la topología?

Question

Es posible tener modelos no estándar de PA donde los números naturales son diferentes.

La definición de una topología requiere una noción de finitud.

Qué pasa si utilizamos un modelo no estándar de la aritmética de decir lo que la limitación de los medios en la definición de topología?

Answer 1

Las definiciones de topología requieren una cierta noción de la teoría de conjuntos. Por lo tanto, tenemos que trabajar en una teoría que es más fuerte que la de $\sf PA$.

Principalmente trabajamos en $\sf ZFC$, o alguna variación de ella. La parte importante es que estas teorías demostrar la consistencia de $\sf PA_2$, que es el de segundo orden de la teoría de $\sf PA$, que es categórica. Así internamente a un universo de $\sf ZFC$ no hay tal cosa como un no-estándar entero.

Por supuesto, hay muchas maneras diferentes de definir la finitud (especialmente en $\sf ZFC$), que no hacen ninguna apelación a los enteros a sí mismos. Pero el punto es que la topología de trabajo dentro del universo de una teoría que demuestra que todos los enteros son estándar (de nuevo, internamente, podría darse el caso de que el modelo en sí no no estándar enteros, pero no puede saber sobre ella desde un punto de vista interno).

Answer 2

Resulta que no haga falta el uso de la aritmética para definir la finitud. Por ejemplo, un conjunto $S$ de los conjuntos es finito (en el sentido al que estamos acostumbrados a) si y sólo si cada uno no vacío subconjunto de el juego de poder de $S$ tiene un mínimo elemento con respecto a la inclusión ($\subseteq$). Un conjunto general $X$ (no necesariamente un conjunto de conjuntos) es finito si y sólo si cada inyección de $X\to X$ es un surjection. Alternativamente, $X$ es finito si y sólo si cada inductivo de la familia de subconjuntos de a $X$ contiene $X$. Inductivo de la familia de subconjuntos de a $X$ es un conjunto $\mathcal{A}$ de los subconjuntos de a $X$, de tal manera que $\emptyset\in \mathcal{A}$, y de tal manera que para todos los $A\in\mathcal{A}$ y todos los $x\in X$ tenemos $A\cup\{x\}\in\mathcal{A}$.