De grupos simétricos a simpléctica grupos?

Question

La pregunta es auto-contenida finita de la teoría de grupo, pero la motivación requiere más de fondo.

Los grupos finitos que me interesa son los grupos de $Sp(n,F_3)$. Para $n$ incluso estos son los habituales de simpléctica grupos sobre el campo con los tres elementos. Para $n$ impar estos son los impares simpléctica grupos. Estos son semi-producto directo de un simpléctica grupo con un grupo de Heisenberg y tenemos una secuencia de subgrupos $Sp(n,F_3)\rightarrow Sp(n+1,F_3)$.

Considere una de estas inclusiones y mirar inducción/restricción de irreductible complejo de representaciones. Mi pregunta es: tomar una irreductible representación de los subgrupos y a inducir. Es esta representación de una suma directa de pares no isomorfos representaciones irreducibles (a veces esto se llama multiplicidad libre)?

Puedo probar esto para$n$, incluso porque las representaciones irreducibles de $Sp(2m+1,F_3)$ puede ser construido con Clifford teoría (conocido por los físicos como Mackey teoría). Puedo usar el equipo para las pequeñas $n$. Así que mi pregunta es, realmente, para $n$ impar.

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Puedo dar más información que se refiere a mi interés. Definir una secuencia de grupos de $G(n)$ por una secuencia finita de las presentaciones, así que tenemos surjective homomorphisms $B(n)\rightarrow G(n)$ donde $B(n)$ es el habitual de la trenza de grupo. Tomar generadores $\sigma_1,\ldots ,\sigma_{n-1}$ y el Artin relaciones. Además, tome $\sigma_i^3$$n\ge 5$$(\sigma_1\sigma_2\sigma_3\sigma_4)^{10}=1$. Luego tenemos a $G(n)=Sp(n-1,F_3)$.

Luego también tenemos a $G(n)\times G(m)\rightarrow G(n+m)$ compatible con $B(n)\times B(m)\rightarrow B(n+m)$. Esto es similar a los grupos simétricos.

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Soy consciente de que esta cuestión puede ser generalizada. Tengo deliberadamente restringido a un ejemplo simple de como me gustaría tener un caso totalmente resuelto antes de la generalización. Si usted tiene una prueba de la anterior, y su prueba se generaliza, que es diferente!

Answer 1

Sin necesidad de trabajar por completo, no le puedo dar una respuesta de si o no.

Pero aquí empieza: Vamos a $G = Sp(2n)$ (un grupo de $2n$ $2n$ matrices, en la notación yo uso) y deje $K = Sp(2n-2) \ltimes H$ donde $H$ más apropiado es el grupo de Heisenberg. Vamos a trabajar sobre cualquier campo finito de la extraña característica -- me imagino que si lo que quieres es cierto, entonces es cierto que en esta generalidad.

Usted desea mostrar (por Frobenius reciprocidad) que la restricción de $G$ $K$es la multiplicidad. Una forma estándar de lograr esto sería probar lo siguiente:

Reclamo: La convolución anillo de $A = C[K \backslash G / K]$ $K$- bi-funciones invariantes en $G$ es conmutativa.

En otras palabras, trata de demostrar que $(G,K)$ es un Gelfand par. El método estándar implica el cumplimiento de las siguientes:

Tarea: Encontrar un anti-involución $\sigma$ $G$ (significado $\sigma^2 = Id$$\sigma(gh) = \sigma(h) \sigma(g)$, de tal forma que cada $K$-el doble-coset $K g K$ $G$ es estable bajo $\sigma$, es decir, si $\sigma(g) \in K g K$ todos los $g \in G$.

Tal involución de los rendimientos de un anti-automorphism de $A$, lo que es conmutativa, este es el "Gelfand-Kazhdan método".

Mi consejo: intente algo como la conjugación por una matriz (la matriz $J$ definir la forma simpléctica, tal vez), seguido por la transposición, para la lucha contra la involución. Es hasta usted para analizar el doble cosets, pero apuesto a que se ha hecho, al menos en el rango bajo (2n = 4, tal vez). El doble cosets puede obtener difícil de manejar, pero en tu caso es casi suficiente para analizar el doble cosets de la "Heisenerg parabólico" $P$ contiene $K$. El $P$ doble cosets en $G$ puede ser analizado a través del grupo de Weyl.

Consejo Final: "odd simpléctica grupos", que se refiere a menudo son llamados Jacobi grupos en la literatura debido a su relevancia para Jacobi formas. Alguien puede haber trabajado algunos de los ya!