Pegar diagramas: ¿es posible pegar una superficie consigo misma en el mismo punto? ¿cómo se dibuja el diagrama?

Question

Estoy aprendiendo los conceptos básicos de la topología, y jugando ahora con los diagramas de pegado (describiendo el dominio fundamental de un espacio topológico), este es un extracto de una descripción básica que tomé de esta página .

"En un diagrama de pegado, se utilizan flechas u otras marcas que muestran dónde debe conectarse una superficie consigo misma. Un cuadrado sin marcas es sólo un cuadrado. Tiene límites en todas las direcciones. Ahora bien, si conectamos el lado izquierdo con el derecho, entonces un habitante de este espacio podría salir por el lado derecho y volver a entrar por el izquierdo. De hecho, el habitante de las llanuras podría viajar para siempre en esa dirección sin llegar a un límite. Sin embargo, la parte superior e inferior siguen siendo límites, por lo que el habitante de las llanuras no podría viajar lejos en ninguna de esas direcciones. "

Estas son muestras de algunas configuraciones básicas (izquierda-derecha, arriba-abajo esperamos que sean correctas: cilindro, cuadrado, tira de Möbius, toro, Botella de Klein y el plano proyectivo real ) y mi pregunta está por debajo de ellos:

La pregunta que me gustaría hacer es:

¿Es posible pegar la superficie consigo misma en el mismo punto, como si fuera un ángulo de reflexión de un espejo? Así que si el flatlander pasa por uno de esos puntos que están pegados a sí mismos, el flatlander aparecerá gradualmente exactamente en el mismo lugar pero en la dirección de rebote del ángulo de reflexión? Si eso es posible, ¿cómo se dibuja el diagrama de pegado?

Actualización (2015/08/25) :

He preparado una imagen de la pregunta con un cilindro como ejemplo, "este" y "oeste" están pegados, de modo que el llanero puede caminar a lo largo de la superficie y hacer una vuelta completa, pero el "norte" y "sur" están pegados a sí mismos y el llanero que sale volverá exactamente al mismo punto pero "rebotando" en el punto en el que sale del plano (como un ángulo de reflexión en un espejo):

He estado leyendo algunas preguntas anteriores aquí en MSE, pero no encontré pistas sobre este punto. Me disculpo porque probablemente es muy básico. Las referencias o enlaces a la información sobre los diagramas de pegado que cubren esta pregunta son muy apreciados, ¡gracias!

P.D. para una descripción visual muy agradable de algunos de los diagramas anteriores, hay un maravilloso video llamado " La forma del espacio " (¡Recomendado!).

Answer 1

Añado la respuesta que recibí por correo electrónico del Doctor Tadashi Tokieda, es el director de estudios de matemáticas en el Trinity Hall, Universidad de Cambridge, algunos bio aquí y aquí Estaba siguiendo a su Topología y Geometría conferencias abiertas en Youtube para el AIMS así que me atreví a enviarle un correo electrónico ayer (no esperaba una respuesta, sólo lo intenté) y recibí su respuesta. (muchas gracias Doctor Tokieda, fue un honor!)

Me envió una explicación muy agradable y fácil de seguir de los conceptos, por lo que transcribo exclusivamente la explicación aquí como un complemento (más adaptado a los términos profanos) a la buena respuesta de @AloizioMacedo. Los dibujos son míos, así que me disculpo si no son muy exactos. Aquí está:

Tomemos el ejemplo de un disco. Piense en el disco como una mesa de billar y en su círculo límite como los rieles del cojín. Si he entendido bien, su imagen es: dispara una partícula, se desliza a lo largo de una línea recta, pero cuando golpea un riel de cojín, se refleja, y se desliza a lo largo de otra línea recta... Captura esta imagen con algún tipo de diagrama de pegado.

¿Qué tal esto? Toma dos copias del disco, $A$ y $B$ . Coser $A$ y $B$ juntos a lo largo de sus círculos fronterizos, como un pan de pita. Inhala un poco en el interior, para que la superficie cerrada resultante $S$ parece una esfera muy aplastada, con $A$ como la hemi-pita del norte y $B$ como la hemi-pita del sur. En cada punto a lo largo del ecuador de $S$ la superficie es lisa y su plano tangente es vertical.

Imagina una partícula que se desliza sobre $S$ y mirarlo desde "arriba". Mientras se desliza $A$ parece viajar más o menos en línea recta en un disco. A medida que la partícula se acerca al ecuador, cruza el ecuador, y entra en $B$ ves su imagen desde arriba acercándose al círculo límite del disco, refleja fuera del límite, y continuar viajando en el disco más o menos a lo largo de una línea recta. Tuvimos que decir "más o menos", porque la curva $A$ y $B$ significan que las imágenes de las trayectorias vistas desde arriba no son exactamente rectas. Pero estás de acuerdo en que, mientras aplastamos $S$ más o menos plano, las trayectorias convergen en líneas rectas. En resumen, la imagen que quieres en un dominio (nuestro ejemplo fue un disco) puede ser realizada por doblando el dominio en una superficie cerrada. El comportamiento dinámico que quieres en el dominio es la proyección de la dinámica en esa superficie.

Hay todo un subcampo de las matemáticas llamado "billar". También hay un tema bien estudiado de geodesia (trayectorias de partículas deslizantes) en los colectores de Riemann. Nuestra discusión anterior muestra que se puede reducir la primera a la segunda, tomando el límite de "aplastamiento".

Mira: El billar dinámico en Wikipedia.

Answer 2

No estoy seguro de que sea posible pegarlo con la "dirección opuesta". Tal vez esto pueda ser posible en algún sentido si se trabaja con colectores orientables (ya que se habla de "superficies", creo que se puede suponer que los espacios topológicos son $2$ -manifolds) invirtiendo la orientación después de que el proceso que describiré suceda... pero no estoy completamente seguro de que esto satisfaga sus intenciones.

El proceso que describiré es general: se aplica a cualquier espacio topológico $X$ .

Toma $X$ y tomar la unión desarticulada de $X$ con sí mismo. Esto deja un espacio topológico $Y$ que es esencialmente dos $X$ que están desconectados (No estoy siendo lo suficientemente riguroso, pero la respuesta sería larga si lo fuera.)

$Y$ es un espacio topológico por derecho propio. Ahora, lo que haces es lo siguiente: identificas dos puntos $x \in X$ uno en cada $X$ y dejar que cualquier otro punto se identifique sólo con él mismo. Al hacer esto, se crea una relación de equivalencia $ \sim $ en su $Y$ . Ahora, si consideras el espacio $Z:=Y/ \sim $ esto $Z$ con la topología natural que se le puede dar (que se puede caracterizar, por ejemplo, por el hecho de que es la mayor topología que hace la proyección $Y \rightarrow Y/ \sim $ continuo), debería ser el espacio que está buscando.

Por ejemplo, si tomas una pelota cerrada $B$ y hacer este proceso, deberías llegar a (algo homeomórfico a) dos bolas que se tocan como resultado.

De hecho, las cosas que mencionas son todos casos de esta "topología de cociente" que mencioné: ¡nótese que estás haciendo clases de equivalencia en todos ellos, identificando puntos!