Elefante: ¿cómo puedo demostrar Lema 2.1.7, la sección C2.1?

Question

Me estoy refiriendo (también de notaciones y terminología) a P. Johnstone, Bocetos de un Elefante. Un Topos De La Teoría Del Compendio. Volumen I. Clarendon Press. Oxford, 2002. El Lema se puede encontrar en la página 540. Yo no puedo manejar explícitamente a probar el siguiente afirmación de que Johnstone hace en su prueba del lema:

Además, la compatibilidad de las $s_{ij}$ asegura que $(s_{i}\vert\ i\in I)$ es compatible con la familia en relación a la $f_{i}$.

Aquí el $s_{ij}$ formar un compatibile de la familia para las composiciones $(f_{i}h_{ij}\vert\ i\in I,\ j\in J_{i})$. Si uno corrige $i$, $(s_{ij}\vert\ j\in J_{i})$ trivialmente es compatible con la familia para la familia $(h_{ij}\vert j\in J_{i})$ y desde $A$ satisface la gavilla axioma para todas las familias de la $h_{ij}$, hay un único $s_{i}\in A(U_{i})$ tal que $A(h_{ij})(s_{i})=s_{ij}$ todos los $j\in J_{i}$. El problema ahora es el siguiente: por la definición misma de compatibles familia, necesito mostrar que para cada objeto $M$$C$, y para cada par de flechas en $C$, $p\colon M\rightarrow U_{i}$ y $q\colon M\rightarrow U_{\overline{i}}$ tal que $f_{i}p=f_{\overline{i}}q$ (para algunos $i,\overline{i}\in I$), uno ha $A(p)(s_{i})=A(q)(s_{\overline{i}})$. Supongo que debería funcionar con la definición de la $s_{i}$ y la compatibilidad de las $s_{ij}$ según lo sugerido por el autor, pero no sé cómo hacerlo, básicamente, ya que no hay ninguna razón para que p o q para factorizar a través de algunos $h_{ij}\colon U_{ij}\rightarrow U_{i}$ o algunos $h_{\overline{i}\overline{j}}\colon U_{\overline{i}\overline{j}}\rightarrow U_{\overline{i}}$. Así que, ¿cómo puedo utilizar la compatibilidad de $s_{ij}$?

Muchas gracias.

Answer 1

El reclamo en cuestión es el siguiente (en mi notación):

Deje $\mathfrak{U}$ ser un lavabo en $X$. Supongamos $\mathscr{F}$ satisface la gavilla condición para $U$ y, para cada una de las $f : U \to X$ en $\mathfrak{U}$, $\mathfrak{V}_f$ es un sumidero en $U$ tal que $\mathscr{F}$ satisface la gavilla condición para $\mathfrak{V}_f$. A continuación, $\mathscr{F}$ satisface la gavilla condición para la familia de compuestos de $\mathfrak{W} = \{ f \circ g : f \in \mathfrak{U}, g \in \mathfrak{V}_f \}$.

Este parece ser falso, sin hipótesis adicionales. (Estoy avergonzado de decir que no he contado esto el año pasado, cuando yo estudié esta sección.) Consideremos el siguiente categoría $\mathcal{C}$: tiene objetos de $U, V, W, X$ y morfismos $f : V \to U$, $g : W \to V$, $h : X \to V$. Tomar $\mathfrak{U} = \{ f, f \circ g, f \circ h \}$, $\mathfrak{V}_f = \{ g \}$, $\mathfrak{V}_{f \circ g} = \{ \textrm{id}_W \}$, $\mathfrak{V}_{f \circ h} = \{ \textrm{id}_X \}$; tenga en cuenta que estos son todos los tamices. Considerar el trivial presheaf $\mathscr{F}$ tal que $\mathscr{F} (Z) = \{ 0, 1 \}$ todos los $Z$$\mathcal{C}$. Por supuesto, esto satisface la gavilla condición para la mencionada tamices, pero no satisface a la gavilla condición para $\mathfrak{W} = \{ f \circ g, f \circ h \}$: tomar $s_{f \circ g} = 0$, $s_{f \circ h} = 1$ produce una coincidencia de familia para $\mathfrak{W}$ (trivialmente), pero que no es posible la fusión de esta coincidencia de la familia.

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Aquí es una forma de reparación de la reclamación: suponemos que $\mathfrak{U}$ y todos los $\mathfrak{V}_f$ están cubriendo tamices para un tamizado cobertura $T$, $\mathscr{F}$ $T$- gavilla. Ahora supongamos $(s_k : k \in \mathfrak{W})$ es una coincidencia de la familia para $\mathfrak{W}$. Por la gavilla condición, existe un único $t_f$ tal que $t_f |_g = s_{f \circ g}$ todos los $g$$\mathfrak{V}_f$. Puedo reclamar $(t_f : f \in \mathfrak{U})$ es una coincidencia de la familia para $\mathfrak{U}$.

En efecto, supongamos $\operatorname{dom} f = \operatorname{codom} h$; debemos mostrar $t_f |_h = t_{f \circ h}$. Pero, para cada una de las $l : Y \to \operatorname{dom} h$$\mathfrak{V}_{f \circ h}$, hay un $T$-cubierta del tamiz $\mathfrak{Y}$ $Y$ tal que $\{ h \circ l \circ m : m \in \mathfrak{Y} \} \subseteq \mathfrak{V}_f$, lo $t_{f \circ h} |_{l \circ m} = s_{f \circ h \circ l \circ m} = t_f |_{h \circ l \circ m}$ todos los $m$$\mathfrak{Y}$, y por lo tanto, $t_{f \circ h} |_l = t_f |_{h \circ l}$ por la gavilla condición para $\mathfrak{Y}$. Por lo tanto, $t_{f \circ h} = t_f |_h$, por la gavilla condición para $\mathfrak{V}_{f \circ h}$.

Sospecho que la condición de que $T$ ser un cernida cobertura podría ser abandonado, pero no he comprobado los datos.