¿Una caracterización de la función tangente?

Question

La función tangente tiene la increíble propiedad que si $\alpha+\beta+\gamma=\pi$ con $\alpha,\beta,\gamma\in (0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi)$ entonces

$$\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma=\tan\alpha \tan\beta \tan\gamma$$

Si añadimos algunos criterios adicionales como que la función sea no constante, ¿esta propiedad ya caracteriza a la tangente, es decir, existen otras funciones con esta propiedad además de la solución trivial $f=0$ ?

Answer 1

Primero pensé en añadir esta respuesta debajo de la otra, pero como las dos respuestas en realidad no tienen nada que ver, resultaba confuso. Esta es un poco más amplia en su alcance.

Supongamos que $f$ es una función que satisface $f(a)+f(b)+f(c)=f(a)f(b)f(c)$ siempre que $a+b+c=\pi$ . Definir $g(x)=f(x+\pi/3)$ para que $g$ ahora satisface $$g(a)+g(b)+g(c)=g(a)g(b)g(c)$$ cuando $a+b+c=0$ . (Esto sólo ayuda a que las ecuaciones sean más transparentes después).

Ahora $0+0+0=0$ Así que $3g(0)=g(0)^3$ Así que $g(0)$ es $0$ o $\pm\sqrt3$ .

Consideremos el caso $g(0)=0$ .

Tenemos $a+(-a)+0=0$ Así que $g(a)+g(-a)=0$ Es decir, $g$ es una función impar.

Utilizando este hecho, tomamos $(a+b)+(-a)+(-b)=0$ y encontrar que $$g(a+b)-g(a)-g(b)=g(a+b)g(a)g(b)$$ así que $$g(a+b)=\frac{g(a)+g(b)}{1-g(a)g(b)}.$$

Definir $x\oplus y=(x+y)/(1-xy)$ . Se puede comprobar que $\oplus$ es conmutativa y asociativa; de hecho, define una operación de grupo abeliano sobre $\mathbb R$ con identidad $0$ . En realidad, es sólo la regla de adición para las tangentes: $\tan(a+b)=(\tan a+\tan b)/(1-\tan a\tan b)=\tan a\oplus\tan b$ .

Así que ahora, asumiendo $g(0)=0$ hemos comprobado que nuestra ecuación es equivalente a $$g(a+b)=g(a)\oplus g(b)$$ donde $(\mathbb R,\oplus)$ es un grupo abeliano. Esto nos deja en un lugar similar a Ecuación funcional de Cauchy , $g(a+b)=g(a)+g(b)$ , excepto con $g(a)+g(b)$ sustituido por una operación de grupo diferente. Aún así, podemos seguir los pasos para su solución con bastante exactitud:

1. Elija cualquier valor para $g(1)$ . Esto determina $g(n)=g(1)\oplus\cdots\oplus g(1)$ para todos $n\in\mathbb N$ . Si $g(1)=\tan\theta$ entonces $g(n)=\tan n\theta$ .
2. Ciertamente, se puede ampliar esta función para $\mathbb Q$ de manera obvia por $g(q)=\tan q\theta$ pero existen otras extensiones arbitrarias: por ejemplo, definir $\theta'=\theta+k\pi$ para cualquier $k\in\mathbb Z$ y que $g(q)=\tan q\theta'$ . (Creo que incluso podría ser posible construir extensiones que no sean idénticas a $\tan q\theta'$ para cualquier $\theta'$ incluso sólo en los racionales, pero no sé suficiente teoría de números para demostrarlo. He pedido ayuda en otra pregunta .)
3. Las cosas se ponen realmente interesantes cuando se mira $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ porque el valor de $g(1)$ no nos dice nada sobre el valor de $g$ a cualquier número irracional. Si se acepta el axioma de elección, existe una base de Hamel para $\mathbb R$ en $\mathbb Q$ es decir, un conjunto $A\subset\mathbb R$ tal que todo número real $x$ puede expresarse de forma única como una combinación lineal racional de elementos de $A$ . Ahora, para cada elemento de la base $a\in A$ , arreglar $g$ en $a$ y todos sus múltiplos racionales utilizando (1) y (2). Entonces, para cualquier $x\in\mathbb R$ , exprésalo en la base, $$x=q_1a_1+\cdots+q_na_n$$ para $q_i\in\mathbb Q$ , $a_i\in A$ (nota que $n$ varía con $x$ pero siempre es finito). Definir $$g(x)=g(q_1a_1)\oplus\cdots\oplus g(q_nq_n).$$

Así que sí, puedes tener un montón de soluciones. Sin embargo, la mayoría de ellas serán incomprensiblemente discontinuas. Si se requiere que la función sea continua (excepto en un número contable de puntos, por supuesto), I esperar que sólo las transformaciones lineales de $\tan$ permanecerá, pero no sé cómo probarlo.

(Además, no he considerado los casos $g(0)=\pm\sqrt3$ pero supongo que serán similares a los anteriores...)

(Además, si usted no asumir el axioma de elección, entonces aparentemente es difícil decir mucho sobre la ecuación funcional de Cauchy. Véanse los enlaces en "Para el papel de AC en este resultado" en esta respuesta .)

Answer 2

Dejemos que $g(x) = \frac\pi3 + \lambda(x - \frac\pi3)$ para alguna constante $\lambda$ .

Se puede comprobar fácilmente que si $\alpha+\beta+\gamma=\pi$ entonces $g(\alpha)+g(\beta)+g(\gamma)=\pi$ también. Por lo tanto, tenemos $$\tan g(\alpha)+\tan g(\beta)+\tan g(\gamma)=\tan g(\alpha)\tan g(\beta)\tan g(\gamma).$$ Así, $f={\tan}\circ g$ tiene la propiedad deseada para cualquier $\lambda$ .