¿Cuál es la suma de todas las $x$ tal que $(3x^2 + 9x - 2012)^{(x^3-2012x^2-10x+1)} = 1$?
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Hagen von Eitzen
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Tenga en cuenta que $x^3-2012x^2-10x+1$ no tiene racional de la raíz (que tendría que ser $\pm1$, la cual puede ser verificada de forma explícita). También tenga en cuenta que yb división de polinomios $$\begin{align}x^3-2012x^2-10x+1 &= (3x^2+9x-2012)\cdot\frac{x-2015}3 + \frac{20117 x -4054177}3, \\ x^3-2012x^2-10x+k &= (3x^2+9x-2013)\cdot\frac{x-2015}3 + 6706 x -1352065+k, \\ x^3-2012x^2-10x+1 &= (3x^2+9x-2011)\cdot\frac{x-2015}3 + \frac{20116 x -4052162}3. \end{align}$$ La primera implica que el $3x^2+9x-2012$ $x^3-2012x^2-10x+1$ no puede ser cero, ya que podría conducir a una raíz racional. Del mismo modo, la tercera implica que no podemos tener la base $=1$ y el exponente $=0$ al mismo tiempo. Finalmente, la segunda ecuación muestra que un $x$ para que la base es $-1$ y el exponente es un entero $1-k$, de nuevo $x$ debe ser racional. Sin embargo, $3x^2+9x-2013$ no tiene soluciones racionales.
Por lo tanto, no extraña casos especiales se producen y la suma deseada es simplemente la suma de las distintas(!) las raíces de $x^3-2012x^2-10x+1$ y el distinto(!) las raíces de $3x^2+9x-2013$. Estos pueden ser leídos directamente de los coeficientes de modo que obtenemos $$2012-\frac 93=2009.$$
Drew Jolesch
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Recordemos que $a^0 = 1$ para todos los verdaderos $a \neq 0$, e $1^b = 1$ para todos los verdaderos $b$.
$$(3x^2 + 9x - 2012)^{\large(x^3-2012x^2-10x+1)} = 1 \iff$$
$$ $$
$$x^3 \color{blue}{\bf - 2012}x^2 - 10 x + 1 = 0\tag{1}$$
o $$3x^2 + 9x - 2012 = 1 \iff 3x^2 + 9x - 2013 = 0 \iff \color{red}{\bf 1}\cdot x^2 + \color{red}{\bf 3}x - 671 = 0\quad\quad\quad\quad\tag{2}$$
Existen $3$ raíces $x_1, x_2, x_3$$(1)$, e $2$ raíces $x_4, x_5$ a (2).
La suma de $S$ desea es $$S = \color{blue}{\bf x_1 + x_2 + x_3} + \color{red}{\bf x_4 + x_5}$$
Para obtener esto, tenga en cuenta el color de los coeficientes: $${\bf Sum} = \color{blue}{\bf 2012} - \color{red}{\bf \frac 31} = {\bf 2009}.$$
