¿Cómo se restringen las propiedades del tensor métrico pseudo-riemanniano por la topología del colector en las variedades pseudo-riemannianas?

Question

Entiendo que un tensor métrico pseudo-riemanniano induce una topología que no es compatible con la topología del colector, y obviamente la topología del colector prevalece si vamos a tener un colector como en este caso.

Pero entonces es difícil no preguntarse cómo se aleja de esta última una variedad pseudo-riemanniana, generalización de las variedades riemannianas. Me refiero a que se distinguen formalmente por la diferente estructura del tensor métrico (indefinido frente a definido positivo) sobre la variedad lisa, pero si el tensor métrico pseudo-riemanniano está restringido por la topología de la variedad base a las propiedades métricas del espacio de una métrica riemanniana, sólo puedo ver como diferencia entre las variedades riemannianas y pseudo-riemannianas las referidas localmente al espacio tangente de un punto de la variedad. Pero incluso ahí la topología del colector hace algunas restricciones AFAICS. Se admiten vectores temporales o espaciales en un punto, pero no vectores nulos no nulos, y por tanto no hay estructura de cono de luz, si nos atenemos estrictamente a la $\Bbb R^4$ topología. He leído el artículo de la wikipedia sobre la topología del espaciotiempo que hace referencia a las topologías de Zeeman y Hawking, pero esas no son topologías de colectores (no son localmente compactas, ni metrizables), las otras topologías que se mencionan allí son equivalentes a la topología de colectores. ¿Me estoy perdiendo algo aquí o lo anterior es básicamente correcto?

[Editar: Los dos siguientes párrafos centrados en el espacio de Minkowski se responden fácilmente con sólo considerarlo un espacio afín en lugar de un colector liso]

Para ser más específicos, cuando Zeeman escribe en su artículo de 1967 en Topology Vol. 6, 161-170 'The topology of Minkowski space': "Dejemos que M denote el espacio de Minkowski, el continuo espacio-tiempo real de 4 dimensiones de la relatividad especial. Es habitual pensar que M tiene la topología del espacio euclidiano real de 4 dimensiones, aunque hay razones por las que esto es erróneo. En particular:La topología euclidiana de 4 dimensiones es localmente homogénea, mientras que M no lo es; cada punto tiene asociado un cono de luz que separa los vectores espaciales de los temporales".

¿Significa esto que la topología euclidiana, que resulta ser la misma que la topología del colector, es incompatible con los conos de luz, y si es así, en qué se diferencia el colector de 4 dimensiones de Minkowski del espacio euclidiano de 4 dimensiones, aparte del invariante de curvatura del hiperboloide inmerso preservado por la isometría local que da lugar a la forma indefinida en 4 dimensiones para empezar?

Answer 1

Me parece difícil dar una "respuesta" a esta pregunta, pero permítanme intentar compartir algunas ideas. En una variedad riemanniana, la métrica riemanniana puede utilizarse para definir una función de distancia (a veces también denominada métrica) que, a su vez, define una topología en la variedad. Como se observa, es una buena característica que esta topología coincida con la topología del colector. Pero esto también implica que la topología es completamente independiente de la métrica riemanniana en cuestión. Por ejemplo, se puede poner una métrica riemanniana en $\mathbb R^4$ que no admite una sola isometría. Pero aún así, esto inducirá la topología habitual (que por supuesto es localmente homogénea).

En el caso pseudo-riemanniano, esto es erróneo en varios aspectos. Si se intenta definir una noción de "distancia" paralela al caso riemanniano, se pueden obtener distancias positivas y negativas y (aún peor) diferentes puntos pueden tener distancia cero (si se encuentran en una geodésica ligera). Esto ciertamente no encaja en el entorno de los espacios métricos, y aunque se podría intentar utilizarlo para definir una topología, ésta se comportaría ciertamente muy mal. (Cualquier punto al que se pueda llegar desde $x$ por una geodésica ligera se consideraría como arbitrariamente cercana a $x$ .)

En mi opinión, el punto básico es que en las matemáticas se suele mirar el mismo objeto desde diferentes perspectivas. Esto se suele expresar observando diferentes clases de "(iso)morfismos". Cualquier colector riemanniano o pseudo-riemanniano tiene un colector liso subyacente, que a su vez tiene un espacio topológico subyacente (y si se quiere llevar las cosas más lejos se pueden mirar los espacios de medida subyacentes o incluso el conjunto subyacente). La diferencia entre estas imágenes estriba en si nos fijamos en las isometrías o en los difeomorfismos (respectivamente mapas suaves), homeomorfismos (respectivamente mapas continuos) o mapas e isomorfismos medibles. Ahora bien, cualquier variedad suave es homogénea bajo su grupo de difeomorfismos (y mucho más que eso es cierto), mientras que las variedades (pseudo)riemannianas que son homogéneas bajo su grupo de isometrías son bastante raras. Esto implica, por supuesto, que las topologías de las variedades lisas son siempre homogéneas. Peor aún, dos variedades compactas cualesquiera (independientemente de su dimensión) son isomorfas como espacios de medida.

Así que la "respuesta" desde mi punto de vista sería que el espacio de Minkowski es el colector liso $\mathbb R^4$ dotado de una métrica lorentziana plana. Hay muchas propiedades de esta métrica, que no se reflejan en absoluto en la topología de $\mathbb R^4$ pero esto también es cierto para las métricas riemannianas en $\mathbb R^4$ . Ciertamente hay algunas estructuras que se asemejan a topologías, que pueden utilizarse para codificar propiedades interesantes del espacio de Minkowski (no conozco las topologías de Zeeman y Hawking a las que te refieres, pero supongo que son estructuras de este tipo, y las estructuras causales son otro ejemplo). Pero no creo que deban usarse en sustitución de la topología del espacio vectorial en $\mathbb R^4$ ...

Permítanme, por último, señalar que el espacio de Minkowski es homogéneo como una variedad pseudo-riemanniana (ya que las traslaciones son isometrías). No es homogéneo a nivel infinitesimal, ya que hay diferentes direcciones que emanan de un punto. (Esta es otra confusión. El espacio de Minkowski no debe considerarse como un espacio vectorial dotado de un producto interior. De lo contrario, habría un punto distinguido: el origen. Matemáticamente es un espacio afín junto con el producto interior en cada espacio tangente).

Answer 2

Hay un problema básico con la premisa de la pregunta tal y como se plantea en el primer párrafo. Un tensor métrico pseudo-riemanniano (lorentziano) no puede producir una métrica en el sentido matemático de una función de distancia (en las variedades semirriemannianas el concepto de longitud no tiene sentido), por lo que no induce ninguna topología, compatible o no, con la topología de la variedad.

La estructura causal derivada del tensor de la métrica lorentziana puede utilizarse para definir muchas topologías diferentes de acuerdo con las condiciones de causalidad del colector lorentziano específico, pero a menos que coincidan con la topología del colector, no pueden reemplazar la topología del colector (como explicó Andreas Cap anteriormente). Véase, por ejemplo, "On the Topology of Lorentzian manifolds" de Renee Hoekzema.

Los problemas entran en la relatividad y en la física en general cuando se intenta relacionar cantidades o longitudes medibles, que son esenciales físicamente, con la topología de la estructura causal en el contexto de una variedad lorentziana.

Aparentemente, la única topología coincidente con la topología de un colector es la topología de Alexandrov en un colector fuertemente causal. Pero esta topología que se representa gráficamente por dos conos de luz unidos en forma de rombo infinitamente alargado, pierde paradójicamente el cono de luz causal en ese límite fuertemente causal, lo que la haría equivalente a $E^4$ y borrando la distinción con una variedad riemanniana.

Esto se realiza en realidad en el espacio de Minkowski, que es fuertemente causal, y ése es el único motivo que veo para que los autores traten de evitar el tratamiento del espacio de Minkowski como una variedad, ya que se subrayaría este hecho.

En el caso de las variedades curvas semi-riemannianas que son fuertemente causales se aplican los teoremas de singularidad de Hawking-Penrose.