Existencia de un subconjunto estacionario de $\omega_2$ con ciertas propiedades

Question

¿Cómo puedo demostrar la existencia de un subconjunto estacionario $X\subset\omega_2$ con las propiedades

1. $x\in X$ implica $cof(x)=\omega$
2. Por cada $\alpha<\omega_2$ el conjunto $\{x\in X\mid x<\alpha\}$ no es estacionario en $\alpha$ .

asumiendo, además $ZFC$ , ya sea $V=L$ o el principio de cuadratura?

Answer 1

Supongamos que $\square_{\omega_1}$ se mantiene y deja que $(C_\alpha \mid \alpha \in \operatorname{Lim}(\omega_2))$ sea una secuencia de testigos, es decir

• $C_\alpha \subseteq \alpha$ es el club,
• $C_\alpha$ es contable, siempre que $\operatorname{cf}(\alpha) = \omega$ ,
• $C_\beta = C_\alpha \cap \beta$ , siempre que $\beta$ es un punto límite de $C_\alpha$ .

Tenga en cuenta que cada $C_\alpha$ tiene tipo de orden $\le \omega_1$ . Y para $\beta < \omega_1$ dejar $\xi^\alpha_\beta$ sea el $\beta$ -ésimo elemento de $C_\alpha$ en su enumeración estrictamente monótona (si existe, en caso contrario que $\xi^\alpha_\beta = 0$ ).

Observe lo siguiente

1. Si $\beta < \omega_1$ es un ordinal límite y $\xi^\alpha_\beta \neq 0$ entonces $\operatorname{cf}(\xi^\alpha_\beta) = \omega$ .
2. Hay algún límite ordinal $\beta < \omega_1$ s.t. $\{ \xi^\alpha_\beta \mid \alpha < \omega_2 \}$ es estacionario.
3. Este conjunto responde a su pregunta, es decir, es un subconjunto estacionario de $E^{\omega_2}_{\omega} = \{ \xi < \omega_2 \mid \operatorname{cf}(\xi) = \omega \}$ que no refleja.