Definición de Unipotentes en Característica Positiva

Question

Deje $G$ ser afín algebraica de grupo a través de una algebraicamente cerrado campo de $k$, cuya característica es la $p>0$. Puede $\mathcal{U}(G)$, el conjunto de unipotentes elementos de $G$, se caracteriza como todos los elementos $g\in G$ tal que $g^{p^t}=1$ algunos $t\in\mathbb{N}$? Si no, ¿qué es $\mathcal{U}(G)$? Si es así, ¿cuáles son definiciones equivalentes de $\mathcal{U}(G)$ y por qué son equivalentes?

Sólo estoy tratando de crecer en mi comprensión de la definición de unipotence. Gracias por su ayuda!

Answer 1

El conjunto de unipotentes elementos son los elementos cuyas órdenes son algunos de potencia de las características del campo.

Para ver esto, vamos a $g\in G$ e incrustar $G$ en algunos lineal general de grupo $H$ sobre el campo de $k$. Deje $p$ ser la característica de $k$.

Desde el fin de la imagen de $g$ $H$ es una potencia de $p$ si y sólo si la orden de $g$ es una potencia de $p$, sólo tenemos que demostrar que una matriz sobre un campo de característica $p$ es unipotentes si y sólo si tiene el fin de un poder de $p$.

Deje $A$ ser un unipotentes matriz, por lo $(A-I)^m = 0$ algunos $m$. Deje $n$ recibir tal que $p^n\geq m$. Luego tenemos a $0 = (A - I)^{p^n} = A^{p^n} - I$ $A$ es de orden una potencia de $p$.

Por otro lado, si asumimos que $A^{p^n} = I$ algunos $n$, luego tenemos a $(A - I)^{p^n} = A^{p^n} - I = 0$ $A$ es unipotentes.