Definición de rastro sin coordenadas.

Question

$\DeclareMathOperator{\tr}{trace}$

Estoy leyendo el Artículo de Wikipedia en el operador de rastreo. La sección titulada Definición sin coordenadas define la traza de la siguiente manera.

Sea $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $F$ y definimos un mapa bilineal $f:V\times V^*\to F$ como $f(v, \omega)=\omega(v)$ para todos $(v, \omega)\in V\times V^*$ . Este mapa induce un único mapa lineal $\tr:V\otimes V^*\to F$ .

Desde $\text{End}(V)$ tiene un isomorfismo canónico con $V\otimes V^*$ tenemos ahora una noción de traza de un operador lineal sobre $V$ .

La pregunta: El segundo párrafo de la sección del artículo dice que

Esto también aclara por qué $\tr(AB)=\tr(BA)$ .

No veo cómo $\tr(AB)=\tr(BA)$ se desprende en absoluto de esta definición.

¿Puede alguien darme una pista?

Answer 1

Para entender la traza, es bueno explicar el isomorfismo entre $End(V)$ y $V\otimes V^*$ : $$V\otimes V^*\to End(V): v\otimes\omega \mapsto (x\mapsto \omega(x)v).$$

Bajo este isomorfismo, la composición de endomorfismos se convierte en $$(V\otimes V^*) \times (V\otimes V^*) \to V\otimes V^*: (v_2\otimes\omega_2, v_1\otimes \omega_1)\mapsto \omega_2(v_1)\cdot v_2\otimes \omega_1.$$

Tomando la traza de esta composición, se obtiene $\omega_2(v_1)\omega_1(v_2)$ . Entonces es fácil ver que la traza de $v_2\otimes\omega_2\circ v_1\otimes \omega_1$ es la misma que la de $v_1\otimes\omega_1\circ v_2\otimes \omega_2$ .