informática el determinante de una matriz

Question

deje $A$ $n\times n$ matriz con entradas de $a_{ij}$ tal que

$a_{ij}=2$ si $i=j$.

$a_{ij}=1$ si $|i-j|=2$

y $a_{ij}=0$ lo contrario.

calcular el determinante de a $A$.

utilizando la famosa fórmula $\det A=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det A^{(ij)}$ donde $A{(ij)}$ es la submatriz de la obtención de $A$ por omitir es $i$th fila y $j$th de la columna, he llegado a la fórmula $\det A=\frac{1}{4}n^2+n+\frac{7}{8}+\frac{1}{8}(-1)^n$. es correcto?

Answer 1

En Mathematica, el código

f[n_] := Table[
  Which[i == j, 2, Abs[i - j] == 2, 1, True, 0],
  {i, 1, n}, {j, 1, n}
  ];
Table[Det@f@n, {n, 1, 20}]

resultados en

{2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90, 100, 110, 121}

La búsqueda de esa secuencia en la OEIS resultados en este y su fórmula es (hasta la sustitución de $n$$n+2$) el primero que allí se indican.

Yo diría que la respuesta es, por tanto, Sí :D

N. B. Usted debe contactar a la OEIS para que se agregue esta interpretación de la secuencia de la (impresionante!) de la lista que ya tienen.

Answer 2

Cinkir desarrolla en su papel de una fórmula para el determinante de una pentadiagonal matriz de Toeplitz. Se especializa en tu caso, vamos a

$$\mathbf P=\begin{pmatrix}a&b&c&&\\b&a&b&c&\\c&b&a&\ddots&\ddots\\&c&\ddots&\ddots&\\&&\ddots&&\end{pmatrix}$$

y considerar el polinomio asociado $p(x)=cx^4+bx^3+ax^2+bx+c$. El papel da una expresión para el factor determinante de la $\mathbf P$ en términos de las raíces de la $p(x)$, con el límite de los casos considerados si $p(x)$ ha repetido raíces.

Para su caso específico, $p(x)=(x^2+1)^2$; la fórmula para $\det \mathbf P$ si $p(x)$ toma la forma $(x-r)^2(x-s)^2$ va como

$$\det \mathbf P=\frac{r^{2 n+4}-r^{n+1} s^{n+1} \left((n+2)^2 r^2-2 (n+1) (n+3) r s+(n+2)^2 s^2\right)+s^{2 n+4}}{(r-s)^4}$$

Dejando $r=i$ $s=-i$ los rendimientos de su fórmula.

Answer 3

Si $A$ es de esta forma

$$A_{7\times 7}= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix}, $$

Puedo conseguir

$$ \det(A) = \begin{cases} \frac{n^2}{4}+n+1,\quad n \text{ even}\\ \quad\\ \frac{n^2}{4}+n+\frac{3}{4},\quad n \text{ odd} \end{casos} $$

Esto es sólo una forma alternativa de plantear la pregunta de la propia escueta respuesta:

$$\det(A) = \frac{n^2}{4}+n+\frac{7}{8} +(-1)^n\frac{1}{8}.$$

Este es un buen ejercicio simbólico $LU=A$ factorización y sería una buena pregunta de examen para separar los buenos de los mediocres de los estudiantes.