encontrar dos diferentes inversa generalizada de la matriz dada

Question

Definición:

Para una matriz dada $A_{m\times n}$, una matriz de $G_{n\times m}$ se dice que es una inversa generalizada de a $A$, si se cumple $$AGA=A.$$

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Pregunta:

Encontrar dos diferentes inversa generalizada de la matriz dada

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1 & 2\\2 & 0 &-2 & 4 \\-1 & 1 & 1 & 3\\ -2 & 2 & 2 & 6 \end{pmatrix}$$

Trabajo realizado:

Desde la forma escalonada de la matriz, $$\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ rango es 2.

puesto que hay dos distintos $2\times 2$ de los menores de edad,

uno de la inversa generalizada es, $$\left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac 1 2 &0 & 0 & 0 \\ \frac 1 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ y la otra es,

$$\left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &0 & \frac 3 {10} & -\frac 4{10} \\ 0& 0 & \frac 1 {10} & \frac 2 {10} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

Por suerte tenemos dos soluciones diferentes,

Pero si la cuestión es encontrar 5 diferentes generalizada inversos, Cómo hacerlo?

Como sabemos que hay un montón de inversas generalizadas hay para esta matriz dada, las diferentes maneras posibles son bienvenidos.

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $AGA=A$, $A(G+uv^T)A=A$ si $u\in\ker A$ o $v\in\ker A^T$. Tenga en cuenta que cuando se $A$ no es un nonsingular de la matriz (esto incluye el caso en que $A$ no es cuadrada), al menos uno de $A$ o $A^T$ tiene un valor distinto de cero nullspace. Por lo tanto, si usted puede encontrar una inversa generalizada de a $A$, usted puede encontrar una infinidad de otros, si el campo es infinito.

Por cierto, las dos matrices que dicen ser generalizada inversos de su ejemplo, $A$ no parece ser correcta.