Funciones con la propiedad $\frac{d}{dx}(f(x)\cdot f(x))=f(2x)$

Question

Me he dado cuenta de la derivada de $\sin^2 x$, $$\frac{d}{dx}\sin^2(x)=\sin 2x$$ and the same applies to $\sinh^2 x$, que es $$\frac{d}{dx}\sinh^2(x)=\sinh(2x)$$

Me preguntaba acerca de las otras funciones de la propiedad. (He publicado una pregunta similar hace aproximadamente una semana, pero yo tenía una premisa incorrecta.)

Así que estas funciones deben satisfacer $$(f^2(x))'=f(2x)\rightarrow 2f'(x)f(x)=f(2x)$$ The only way I could think of solving these was the power series method which is something I've never been good with. $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} C_nx^n,$$ $$f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)C_{n+1}x^n$$ conectar este
$$2\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)C_nC_{n+1}x^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty}C_n(2x)^n.$$ and now I don't know what to do with that $x^{2n}$ term. Could someone help me find the general form of $f(x)$?

Answer 1

Parece ser que hay 3 familias de soluciones: $$ \left( \begin{array}{cccc} Coeff & Solution\,1 & Solution\,2 & Solution\,3\\ a_0 & 0 & 0 & \frac{1}{8 a_2} \\ a_1 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ a_2 & 0 & 0 & a_2 \\ a_3 & a_3 & 0 & \frac{4 a_2^2}{3} \\ a_4 & 0 & 0 & \frac{4 a_2^3}{3} \\ a_5 & \frac{3 a_3^2}{10} & 0 & \frac{16 a_2^4}{15} \\ a_6 & 0 & 0 & \frac{32 a_2^5}{45} \\ a_7 & \frac{3 a_3^3}{70} & 0 & \frac{128 a_2^6}{315} \\ a_8 & 0 & 0 & \frac{64 a_2^7}{315} \\ a_9 & \frac{a_3^4}{280} & 0 & \frac{256 a_2^8}{2835} \\ a_{10} & 0 & 0 & \frac{512 a_2^9}{14175} \\ a_{11} & \frac{3 a_3^5}{15400} & 0 & \frac{2048 a_2^{10}}{155925} \\ a_{12} & 0 & 0 & \frac{2048 a_2^{11}}{467775} \\ a_{13} & \frac{3 a_3^6}{400400} & 0 & \frac{8192 a_2^{12}}{6081075} \\ a_{14} & 0 & 0 & \frac{16384 a_2^{13}}{42567525} \\ \end{array} \right) $$ La solución 2 es claramente la constante $0$ función, Solución 1 parece ser: $$ f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{\frac{n}{2}-2} 3^{\frac{n}{2}-1} \left((-1)^n+1\right) a_3^{\frac{n}{2}-1}}{\Gamma (n)}x^n $$ Solución 3 parece ser del tipo: $$ f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{2 n-5} a_2^{n-2}}{\Gamma (n)}x^n $$ Esto está lejos de ser una prueba, pero no creo que hay otras familias.