Sí, sí que lo es. Usted está escribiendo la proyección para el origen del grupo a través de su personaje de expansión, de hecho una generalización de la transformada de Fourier, como lo has adivinado.
Un buen libro cubre todo, como Vilenkin clásico. Voy a usar el físico informal asiento - de-los-pantalones de lenguaje y evitar mathematese, que, probablemente, fue varado en el primer lugar.
Su fórmula es la expansión de Fourier de U(1), cuyos representantes son todos unidimensional, $e^{ir\theta}$, y el grupo invariante en la medida de Haar es trivial/plana, dθ ; para así obtener el δ(θ-0), habiendo proyectado para el origen del grupo.
El punto es $\mathrm{tr}_r(U)\equiv \chi_r(U)$ es el carácter de la rep,
una función de clase, que es el mismo para toda la clase equivalente que contenga U, por la similitud de la invariancia de la traza. El carácter de la identidad, entonces, es sólo $\chi_r(\mathbb{1}) = \dim(r)$, la dimensión de la rep. A partir de la ortogonalidad de los personajes descritos en el vinculado WP artículo, verá que usted puede representarse a U como una suma directa de esta U en cada repetición, con su carácter en el que la reputación de un coeficiente, de manera, entonces, como la expansión de Fourier. Así que usted está escribiendo la integridad de la relación de su grupo con el origen en el grupo como en el de destino.
Nota sin embargo, en lo que se escribe, que el lado derecho es un escalar función de la clase, por lo que el descuidado l.h.s. debe ser interpretado como actuar en funciones de clase y de marcar sus ángulos a los de origen, por ejemplo,$\int dU \delta(U-\mathbb{1}) \chi_s (U)= \dim(s) $.
Para SU(2), el caso más simple, esto no es tan malo. Sólo hay una clase de equivalencia--recordar una similitud de transformación puede representar cualquier elemento de grupo como una rotación de $R_3$ alrededor de algún eje de Euler llegó a esta similitud de transformación: lo que están buscando en $e^{i\theta J_3}$. Los personajes son, entonces, sólo los polinomios de Chebyshev de la segunda clase, un kernel de Dirichlet,
$$
\chi_s(\theta)=\frac{\sin ((2s+1)\theta/2)}{\sin (\theta/2)},
$$
la obvia suma de los 2s +1 exponenciales en la traza de $R_3$. La medida de Haar es
$$
\int_0^{4\pi} d\theta \frac{\sin^2 (\theta/2)}{2\pi}.
$$
Usted, a continuación, suma
$$
(n+1)\frac{e^{i(n+1)\theta/2} - e^{-i(n+1)\theta/2}}{e^{i\theta/2} - e^{-i\theta/2}}
$$
sobre todos los enteros positivos n=2s+1. (Barato y sucio de las evaluaciones puede acabar produciendo 0/0. Mi favorito formal chiste podría ser la definición de $S(\theta)\equiv \sum_{n=1}^{\infty}e^{in\theta/2}$, evaluando $\partial_\theta (S(\theta)+S(-\theta))$, de donde $-\partial_\theta \delta(\theta/2)/\sin(\theta/2)$, dada la transformada de Fourier del núcleo de el periódico δ, el
Peine de Dirac,
pero no hay necesidad de tomar demasiado en serio!). Gran ns neto periódico de δs, como por el kernel de Dirichlet WP artículo, pero el punto es el más pequeño de n términos conspiran para interferir destructivamente.
Aún así, tecnicismos aparte, la proyección está obligado a trabajar fuera. Echa un vistazo a ese
$$
\int_0^{4\pi} d\theta \frac{\sin^2 (\theta/2)}{2\pi} \frac{(-\partial_\theta \delta(\theta/2))}{2\sin(\theta/2)} ~ \chi_7 (\theta)= 15,
$$
después de la integración por partes.
Usted puede encontrar ejemplos prácticos de esta técnica en nuestro papel aquí.
