2013th derivada de una función trigonométrica

Question

Asumir la función

$f(x) = \sin(2x) \cdot \cos(x)$

Encontrar el 2013 ^th derivados

Lo que he encontrado hasta ahora:

$f''(x)= -4\sin(x) \cdot \cos(2x) - 5f(x)$

Estoy suponiendo que necesito encontrar una relación como la anterior con el fin de simplemente aplicar una y otra vez, sin embargo, me parece que no puede hacerlo.

Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias.

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EDIT: @Ihsan y Babak

Utilizando este resultado, los resultados en:

$f''(x) = -8\sin(3x) - f(x) $

Y no estoy seguro de cómo hacer que se repita este 1006 veces!

Answer 1

$$2\sin(2x)\cos(x)=\sin(3x)+\sin(x)$$ Uso de este.

Answer 2

Sugerencia: Utilice $$\sin\alpha\cos β= \frac{1}2[\sin (\alpha + β) + \sin (\alpha − β)]$$ and $$\sin^{(n)}(x)=\frac{d^n}{dx^n}\sin(x)=\sin(x+\frac {\pi}{2}n)$$ y el uso de la regla de la Cadena también.

Answer 3

Sugerencia: Tratar de expresar la función en uso $e^x$ el uso de: $\sin(\alpha) = \frac{e^{i \alpha} + e^{i\alpha}}{2i}$$\cos (\alpha) = \frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}$.

Solución completa: (hasta los errores de menor importancia, si alguna...) $$ \sin(2x) \cos(x) =\left(\frac{e^{i2x}-e^{-i2x}}{2} \right)\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \right)=\frac{1}{4i} e^{i3x}-e^{-i3x}+e^{ix}-e^{-ix}). $$ Desde $(e^{ax})'=ae^{ax}$, $2013$- ésima derivada es $$ (e^{ax})^{[2013]}=a^{2013}e^{ax}. $$ Conectando a la anterior ecuación y recordando que $i^{2013}=i^{2012}i=1^{503}i=i$, obtenemos $$ \begin{array}{lll} (\sin(2x) \cos(x))^{[2013]}&=&\left(\frac{1}{4i}(e^{i3x}-e^{-i3x}+e^{ix}-e^{-ix})\right)^{[2013]}\\ &=&\frac{1}{4i} \big((i3)^{2013} e^{i3x}- (-i3)^{2013}e^{-i3x}+(i)^{2013} e^{ix}- (-i)^{2013}e^{-ix}\big)\\ &=&\frac{i}{4i}\big( 3^{2013}(e^{i3x}+e^{-i3x}) + e^{ix}+e^{-ix}\big)\\ &=&\frac{3^{2013}}{2}\frac{e^{i3x}+e^{-i3x}}{2} +\frac{1}{2}\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\\ &=&\frac{3^{2013}}{2}\cos 3x+\frac{\cos x}{2}. \end{array} $$

Answer 4

Nota de la 2ª derivada de $\sin(a x)$ $-a^2 \sin (a x)$ (y similares para $\cos a x)$ $\frac{d^2}{dx^2} f(a x) = -a^2 f(a x)$ al $f(x)$ es de seno o coseno. Haciendo dos más de los derivados se encuentra la 4ª derivada es $a^4 \sin( a x)$. La repetición de esta cuatro veces más, usted consigue el 8 de derivados es $a^8 \sin (a x)$ ocho es un múltiplo de 4. (De manera similar de 2012 es un múltiplo de 4; y entonces usted tiene que hacer uno más derivados para llegar a la 2013th derivados).

Ayuda a utilizar fórmulas trigonométricas para romper el producto de dos funciones trigonométricas en la suma de funciones trigonométricas.