Si $a\in\mathbb{Q}$, demostrar que la secuencia $\{\sin(n!a\pi)\}_{n=1}^\infty $ tiene un límite.

Question

Este ejercicio es de Los métodos de análisis Real por Richard Goldberg.

Si $a\in\mathbb{Q}$, demostrar que la secuencia $\{\sin(n!a\pi)\}_{n=1}^\infty$ tiene un límite.

Creo que esta prueba basa en el hecho eso si $a\in\mathbb{Q}$ $a=\frac{p}{q}$ $p,q\in\mathbb{Z}$, y puesto que $n$ va al infinito, $q$ es un factor de $n!$. Así, $n!a\in\mathbb{Z} \ (\forall n\gt q)$ y por lo tanto $\sin(n!a\pi)=0 \ \forall n$ cuando $n \to\infty$.

¿Es correcta esta idea? Si es así, ¿cómo puedo escribir esto formalmente?

Answer 1

Más o menos listo. Aquí es cómo terminar.

Dado $a=p/q$ donde dejó $q \in \mathbb{N}$, $N=q$. Entonces si $n \geq N$, entonces el $n! a \in \mathbb{Z}$ (¿por qué?), por lo que si $n \geq N$ y $\sin(n! a \pi)=0$. Por lo tanto, el límite es cero.

Answer 2

La idea es correcta. Se puede escribir como usted lo dijo, más o menos.

Supongo que $a$ es racional. Existe un número entero $p$ y un número entero positivo $q$ tal que $a= p/q$.

Claramente, para todos los enteros $1 \le m \le n$ uno tiene $m \mid n!$. Así, para todos los $n \ge q$ tenemos $q \mid n!$ y así $a \ n!$ es integral.

Por lo tanto todos $n \ge q$ tenemos $\sin ( a n! \pi) = 0$ $\sin (t\pi)= 0$ para cada número entero $t$. Como la secuencia es finalmente constante, luego es convergente.

Answer 3

Básicamente lo tienes. Para hacerlo un poco más riguroso puede que desee introducir un $\varepsilon$ y un $N$ tal que $$\left|\sin(an!\pi)\right|<\varepsilon$$ for all $n\geq N$ and $\varepsilon > 0 $. As you say, once $n! $ gets large enough it'll cause $n! a $ to be an integer. We can guarantee this by choosing $N = $ q. Entonces podemos decir sin duda que:

Dadas $\varepsilon>0$, sabemos $$\left|\sin(an!\pi)\right|=\left|\sin(an!\pi)-0\right|<\varepsilon$$ for all $n\geq q$. By definition, $\sin(n!\pi) $ converges to $0$.