Convergencia del$\sum \frac{\ln(n!)}{n^{\alpha}}$

Question

Me estoy preparando para mi examen de cálculo (no es una tarea). Así que tengo una suma:$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n!)}{n^{\alpha}}$ $ Necesito encontrar para qué valores del parámetro$\alpha$ la suma converge y diverge. Traté de encontrar alguna desigualdad para aplicar la prueba de comparación, pero fracasé.

Answer 1

$$\ln n! = \ln 1 + \ln 2 + ... +\ln n < n\ln n <n^{1+\beta}$ $ Para todos$\beta >0$. Por lo tanto, su serie converge para todos$\alpha>2$.

Answer 2

El equivalente$\ln n!\sim n\ln n$ produce fácilmente la respuesta.

Este equivalente es una forma cruda de la fórmula de Stirling, más fácilmente probada que la forma completa, como sigue.

En primer lugar,$\ln n!$ es la suma de$n$ terms$\ln k$ each$\leqslant\ln n$ then$\ln n!\leqslant n\ln n$.

Por otro lado,$\ln n!$ es mayor que$(1-a)n$ terms mayor que$\ln(an)$, para cada$a\lt1$, de ahí$\ln n!\geqslant(1-a)n\ln(an)\geqslant (1-a)n\ln n+\Theta(n)$.

Puesto que$a$ se puede elegir tan pequeño como se desee, el equivalente reivindicado sigue.