¿Existe una forma cerrada de$\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2^2}+\frac{1}{1+2^2+3^2}+.....$

Question

¿Cómo puedo encontrar la forma cerrada de? $$\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2^2}+\frac{1}{1+2^2+3^2}+.....$ $ Cualquier ayuda gracias

Answer 1

Sugerencia: El$n$ - ésimo término de la serie es$\dfrac{1}{\sum_{k=1}^n k^2}=\dfrac{6}{n(n+1)(2n+1)}$. Utilice fracciones parciales.

Answer 2

Hypergeometric tiene una buena idea, pero no podemos trabajar con series divergentes de esta manera. Reordenamientos similares pueden dar respuestas equivocadas. Pero tomando las ideas hipergeométricas, una prueba válida se ve así:

$$ \begin{align} \log 2 &= \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2n-1}- \frac{1}{2n}\right) \\ \sum_{n=1}^N \frac{1}{\sum_{r=1}^n r^2} &= \sum_{n=1}^N \frac{6}{n(n+1)(2n+1)} \\ &= 12 \sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{2n} + \frac{1}{2n+2} - \frac{2}{2n+1}\right) \\ &= 12 \sum_{n=1}^N \frac{1}{2n} + 12\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2N+2}+\sum_{n=1}^N \frac{1}{2n}\right) - 24\left(-1+\frac{1}{2N+1}+\sum_{n=1}^N\frac{1}{2n-1}\right) \\ &= 12\left(-\frac{1}{2}+\frac{2}{2N+2}+2+\frac{1}{2N+1}\right) -24\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right) \\ \lim_{N \to \infty}\sum_{n=1}^N \frac{1}{\sum_{r=1}^n r^2} &= 18-24\log 2 \end {align} $$