Considere una función compleja $f(z)=\frac{1}{z^2}$. Sabemos que tiene una singularidad en $z_0=0$ y que es holomorphic en otros lugares. Entonces sabemos por Cauchy de la integral teorema que $\int_\gamma \frac{1}{z^2}\mathrm{d}z=0$ por cada apropiado curva cerrada $\gamma$, de tal forma que su interior no contiene $0$. Al $\gamma$ interior contiene $0$ podemos ver que $\forall \gamma \,\,\exists r$, de tal manera que
$$\int_{\gamma}f(z)\mathrm{d}z=\int_{|z|=r}f(z)\mathrm{d}z\,,$$
a condición de que todo el círculo delimitado por $|z|=r$ pone en el interior de $\gamma$. Vamos a calcular ahora
$$\int_{|z|=r}\frac{1}{z^2}\mathrm{d}z=\int_0^{2\pi}\frac{ire^{i\varphi}}{r^2e^{2i\varphi}}\mathrm{d}{\varphi}=C\int_0^{2\pi}e^{-i\varphi}\mathrm{d}\varphi = 0.$$
Lo anterior muestra que para arbitrario elegido regular de la curva de $\gamma$ el contorno de la integral es siempre igual a $0$. Como la función de $f(z)$ es suficiente hipótesis que podemos aplicar Morera teorema, que implica la $f(z)$ es holomorphic en $\mathbb{C}$. Que es una contradicción.
Lo que es más lo mismo ocurre para $g_k(z)=z^k$ todos los $z\in\mathbb{Z}$ a excepción de $k=-1$. Que también es una propiedad crucial cuando se trata de demostrar de Cauchy fórmula integral de los Residuos y la thoerem. Es equivalente a la integral de Laurent de la serie, dependiendo únicamente de la $-1$st coeficiente.
Evidentemente hay alguna falla en mi understadning de la cuestión, que me parecen no darse cuenta. De ahí mi pregunta surge. Yo te aprecio mucho alguna pista.
