Permite$(f_n)_n$ una secuencia de función medible. Demostrar que {$\omega \in \Omega:(f_n(\omega))_n$ converge} es mensurable.

Question

Permite$(f_n)_n$ una secuencia de función medible. Probar que {$\omega \in \Omega:(f_n(\omega))_n$ converges} es mensurable.

Mi idea es escribir el problema de la siguiente manera:

Para todos$\ n \in \mathbb{N}$, existe$\ k \in \mathbb{N}$ tal que para todo$\ i,j>k \ $ entonces$\ |f_i (\omega)- f_j (\omega)|< 1/n$, la última parte porque$\mathbb{R}$ ha finalizado.

Ahora,

Dejar $A_{n,i,j}:=$ {$\omega \in \Omega:|f_i (\omega)- f_j (\omega)|< 1/n$},

entonces $\cap_{n\in \mathbb{N}} \ \cup_{k\in \mathbb{N}} \cap_{i,j>k}$ $ \ A_{n,i,j}$

...

¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

La buena observación que hizo parcialmente es la siguiente:

$(f_n(\omega))_n$ Es convergente si y sólo si para todos$n \ge 1$ hay$k$ tal que para todos$i,j > k$,$|f_i(\omega)-f_j(\omega)| < \frac{1}{n}$. La única dirección si se mantiene en cualquier espacio métrico, mientras que la dirección if utiliza la integridad de$\mathbb{R}$.

Por lo tanto, $\{\omega \in \Omega : (f_n(\omega))_n \hspace{1mm} \text{converges}\} = \cap_{n \ge 1}\cup_{k \ge 1} \cap_{i,j > k} \{\omega : |f_i(\omega)-f_j(\omega)| < \frac{1}{n}\}$. Creo que tuviste algunos sindicatos e intersecciones mezclados. Pero el punto es$\{\omega : |f_i(\omega)-f_j(\omega)| < \frac{1}{n}\}$ es mensurable ya que$f_i-f_j$ es mensurable, así que si hacemos intersecciones y uniones, el resultado es mensurable.

Answer 2

Tal vez usted ya sabe que para una secuencia de funciones mensurables también$\limsup f_n$ y$\liminf f_n$ son funciones medibles, entonces tiene

$$\{ f_n \text{ converges} \} = \{\limsup f_n = \liminf f_n\} $$ and because $ \ limsup f_n$ and $ \ liminf f_n$ are measurable functions $ \ {\ limsup f_n = \ liminf f_n \ ps