En resumen, no importa realmente dónde van los puntos positivos y negativos. Al igual que las etiquetas son arbitrarias, también lo es la asignación de orientaciones: no hay una asignación "correcta" y todo se resuelve. Ni siquiera es necesario que las orientaciones sean coherentes entre cadenas de diferentes dimensiones dentro del complejo. De hecho, puede que ni siquiera sea posible hacer una asignación globalmente coherente.
Mirándolo desde un punto de vista lineal-algebraico, cuando asignas orientaciones, estás eligiendo una base para el espacio vectorial de las cadenas. Las cadenas que suman cero son el núcleo del mapa de límites $\partial_k:C_{k+1}\to C_k$ de $(k+1)$ -cadena a $k$ -cadenas. Este núcleo es independiente de la elección de las bases: al cambiar las bases sólo cambia su representación y la del operador de frontera como matrices de coeficientes.
Veamos lo que ocurre con un gráfico. El operador de frontera $\partial:C_1\to C_0$ puede representarse como una matriz con filas indexadas por nodos y columnas indexadas por aristas. Al reetiquetar las aristas se permutan las columnas de esta matriz, lo que, por supuesto, no tiene ningún efecto sobre su núcleo e imagen. Reetiquetar los nodos permuta las filas, lo que equivale a permutar las coordenadas de las tuplas que representan las cadenas. Hasta aquí todo bien: las etiquetas son arbitrarias y no tienen ningún efecto sobre las cadenas que suman cero.
Ahora, ¿qué sucede si se invierte la orientación del borde $j$ ? Esto equivale a negar la $j$ columna de la matriz $\partial$ o, de forma equivalente, de elegir $-\mathbf v_j$ en lugar de $\mathbf v_j$ como el $j$ vector base de $C_1$ . Esto simplemente niega la $j$ coordenada de las tuplas que representan $1$ -cadenas, es decir, cambia su representación como tuplas de coordenadas, pero no los vectores que esas tuplas representan.
Otra cosa que hay que tener en cuenta es el efecto de cambiar la orientación de un $k$ -continuación de la cadena $\partial_k$ cuando $k\gt0$ . En términos matriciales, hacer esto niega una fila de la matriz de $\partial_k$ . Esto deja el espacio de filas de esta matriz sin cambios, y dado que su núcleo es el complemento ortogonal de su espacio de filas, esto tampoco se ve afectado.
Por poner un ejemplo relativamente sencillo, consideremos el grafo dirigido con aristas $1\to2$ , $2\to3$ , $1\to3$ , $2\to4$ y $3\to4$ . La matriz del operador límite correspondiente es $$\partial = \begin{bmatrix} -1&0&-1&0&0 \\ 1&-1&0&-1&0 \\ 0&1&1&0&-1 \\ 0&0&0&1&1 \end{bmatrix}.$$ Su núcleo se encuentra fácilmente a través de técnicas estándar para ser abarcado por $(-1,-1,1,0,0)^T$ y $(0,1,0,-1,1)^T$ (son los dos bucles más pequeños del gráfico), por lo que toda combinación lineal de estas dos cadenas suma cero. Por ejemplo, el bucle exterior más grande es la suma de estos dos bucles. Ahora invierte la orientación de la segunda arista y vuelve a calcular: el núcleo está ahora abarcado por $(-1,1,1,0,0)^T$ y $(0,-1,0,-1,1)^T$ . Comparando estas dos bases, encontramos que la única diferencia es que la segunda componente de los vectores de coordenadas ha sido negada, exactamente como se esperaba.
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La respuesta breve es que no importa cómo se asignen estas orientaciones, siempre que se reflejen correctamente en los operadores de contorno; no hay una única asignación "correcta". Sería un ejercicio instructivo trabajar con algunos ejemplos y ver que las diferentes asignaciones de orientación no cambian realmente las cadenas que suman cero (o incluso demostrar que esto es cierto en general).
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Otra forma de verlo es que estás eligiendo bases para varios espacios vectoriales cuando asignas los más y los menos. Cambiar las bases del dominio y del codominio de un mapa lineal no cambia su núcleo, pero sí afecta a la °representación° del mapa y su núcleo como matrices de coeficientes.