Me gustaría saber si existe algún teorema de estructura que clasifique todos los grupos abelianos compactos, se agradece cualquier referencia.
Sé que existe un teorema de estructura para grupos abelianos de Lie compactos y para grupos abelianos localmente compactos, pero el primero es demasiado específico y el segundo demasiado general.
Sé que hay grupos pro-finitos, y grupos de Lie. Recientemente he descubierto que también hay grupos Pro-Lie (que no son necesariamente compactos). ¿Es todo grupo abeliano compacto un producto directo de estos grupos? Si es así, ¿qué podemos decir de los grupos Pro-Lie compactos?
Gracias.
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Debido a la dualidad de Pontryagin, clasificar todos los grupos abelianos compactos es lo mismo que clasificar grupos abelianos (abstractos).
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¿Existe alguna clasificación de estos grupos?
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No; es un gran problema.
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Correcto, ¡gracias! Entonces supongo que por eso es tan difícil encontrar un teorema de estructura para estos grupos.
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Existe una clasificación razonable en el caso conectado.
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Sí, el libro de Loth y Morris que mencionó egreg dice algo al respecto. Gracias por las respuestas.
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Un hecho que me impresionó al aprender sobre la estructura de los grupos abelianos y los grupos LCA: existen grupos abelianos contables G tales que G no es isomorfo a un grupo de la forma T x H, donde T es un grupo de torsión y H es libre de torsión (Véase el libro de Fuchs Infinite Abelian Groups, Volume 1). La dualidad de Pontryagin produce entonces un ejemplo de grupo abeliano métrico compacto que no puede escribirse como producto de un grupo conexo y un grupo totalmente desconectado. Así que, en general, no hay nada tan bonito como el teorema de la estructura para grupos abelianos finitamente generados.
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Muy interesante, lo buscaré, ¡gracias!